Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch như hình bên. Diện tích đa giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên đồ thị bằng :

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ đi qua điểm (1; 2) và (−1; 1) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=1a_1+b_1\\ 1=-1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ b_1=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy (d₁): y =$\frac{1}{2}$ x + $\frac{3}{2}$  ⇔ −x + 2y = 3.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_1­) ta được:

−0 + 2 . 3 > 3

Do đó ta có bất phương trình −x + 2y > 3 (không kể đường thẳng d₁) (1)

Xét đường thẳng d₂: y = a₂x + b₂ đi qua điểm (0; 1) và (1; 0) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}1=0a_2+b_2\\ 0=1a_2+b_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_2=-1\\ b_2=1\end{array}\right.$

Vậy (d₂): y =  −x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_2­) ta được:

0 + 3 − 1 > 0

Do đó ta có bất phương trình x + y − 1 > 0 (không kể đường thẳng d₂)  (2)

Xét đường thẳng d₃: y = a₃x + b₃ đi qua điểm (0; 2) và (1; 2) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=0a_1+b_1\\ 2=1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=0\\ b_1=2\end{array}\right.$

Vậy (d₃): y = 2.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_3­) ta được:

3 > 2

Do đó ta có bất phương trình y > 2 (không kể đường thẳng d₃) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-x+2y>3\\ x+y-1>0\\ y>2\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ đi qua điểm (2; 1) và (0; 0) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}1=2a_1+b_1\\ 0=0a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ b_1=0\end{array}\right.$

Vậy (d₁): y = $\frac{1}{2}$ x ⇔ x − 2y = 0.

Thay điểm (0; 1) thuộc miền nghiệm vào (d_1­) ta được:

0 − 2 . 1 < 0

Do đó ta có bất phương trình x − 2y ≤ 0 (kể cả đường thẳng d₁) (1)

Xét đường thẳng d₂: y = a₂x + b₂ đi qua điểm (−2; 0) và (0; −1) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}0=-2a_2+b_2\\ -1=0a_2+b_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_2=-\frac{1}{2}\\ b_2=-1\end{array}\right.$

Vậy (d₂): y = −$\frac{1}{2}$ x − 1 ⇔ x + 2y + 2 = 0

Thay điểm (−1; 0) thuộc miền nghiệm vào (d_2­) ta được:

−1 + 2 . 0 + 2 > 0

Do đó ta có bất phương trình x + 2y + 2 ≥ 0 (kể cả đường thẳng d₂) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình :$\left\{\begin{array}{c}x-2y\le 0\\ x+2y+2\ge 0\end{array}\right.$