Câu hỏi:

25/08/2022 1,821 Lưu

Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C.

Media VietJack

Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, BC = 70 m, \(\widehat {CAB} = 45^\circ \). Vậy sau khi đo đạc và tính toán, ta được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta được:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA

Suy ra 702 = 402 + AC2 – 2.40.AC.cos45°

Do đó \(A{C^2} - 40\sqrt 2 .AC - 3300 = 0\)

Vì vậy \(AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \) hoặc \(AC = - 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \).

Vì AC > 0 nên ta nhận \(AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \) ≈ 92,3 (m)

Do đó ta chọn phương án C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAH} = 90^\circ \).

\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \].

Ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\).

∆ABC có \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105^\circ 30'} \right) = 14^\circ 30'\).

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\)

Suy ra \(AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\) (m)

∆ACH vuông tại H: \(\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}\)

Suy ra \(CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269,4.\sin 30^\circ = 134,7\) (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 2

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

• Ta có \[\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\]

sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c\)

\( \Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)\)

a2b + bc2 – b3 + a2c + b2c – c3 = 2b2c + 2bc2

b3 + c3 – (a2b + a2c) + (b2c + bc2) = 0

(b + c)(b2 – bc + c2) – a2(b + c) + bc(b + c) = 0

(b + c)(b2 – bc + c2 – a2 + bc) = 0

(b + c)(b2 + c2 – a2) = 0

b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b2 + c2 = a2

AC2 + AB2 = BC2

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP