Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=x-m+3$  (m là tham số)

a)    Vẽ parabol $\left(P\right)$

b)    Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để đường thẳng $\left(d\right)$cắt $\left(P\right)$tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$thỏa mãn $\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}=1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^2=x-m+3\iff x^2-x+m-3=0\left(1\right)$

Để $\left(P\right)$ cắt $\left(d\right)$ tại hai điểm phân biệt $\iff \left(1\right)$có hai nghiệm phân biệt

$\iff \Delta >0\iff 1-4\left(m-3\right)>0\iff 1-4m+12>0\iff m<\frac{13}{4}\left(*\right)$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-et ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}\right.$.

Ta có $A,B\in \left(P\right)$nên $A\left(x_1;x_1^2\right),B\left(x_2;x_2^2\right)$. Khi đó ta có :

$\begin{array}{l}\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}=1\iff \sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_2^2}=1\iff \left|x_1\right|+\left|x_2\right|=1\\ \iff {\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2=1\iff x_1^2+x_2^2+2\left|x_1{x}_2\right|=1\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+2\left|x_1{x}_2\right|=1\iff 1-2\left(m-3\right)+2\left|m-3\right|=1\\ \iff \left|m-3\right|=m-3\iff m-3\ge 0\iff m\ge 3\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $\left(*\right)$ta được $3\le m\le \frac{13}{4}$

Vậy $3\le m\le \frac{13}{4}$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có : AB,AClà các tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$nên $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OB\\ AC\perp OC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \angle ABO=\angle ACO=90°$

$\Rightarrow \angle ABO+\angle ACO=180°\Rightarrow ABOC$là tứ giác nội tiếp (đpcm)