Câu hỏi:

19/08/2025 2,376

d) Đường thẳng qua D và vuông góc với OB cắt BC tại M. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm K,M,P thẳng hàng

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

d) Gọi J là giao điểm của AK và BC

Gọi P là giao điểm của KM và AB. Ta sẽ chứng minh P là trung điểm của AB

Kẻ $O N ⊥ D K (N \in D K) \Rightarrow N$ là trung điểm của DK

Lại có $∠ A N O = 90 °$ nên N thuộc đường tròn đường kính OA hay $O, N, B, A, C$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABJ và ANB ta có :

$∠ B A N$ chung, $∠ A B J = ∠ B N A (= A C B)$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

$\Rightarrow Δ A B J ∽ Δ A N B (g . g) \Rightarrow \frac{A J}{A B} = \frac{A B}{A N}$ (cặp cạnh tương ứng) $\Rightarrow A B^{2} = A J . A N$

Tương tự ta có : $Δ A B D ∽ Δ A K B (g . g) \Rightarrow \frac{A B}{A K} = \frac{A D}{A B} \Rightarrow A B^{2} = A K . A D$

$\Rightarrow A J . A N = A K . A D \Rightarrow \frac{A N}{A D} = \frac{A K}{A J} = \frac{A K - A N}{A J - A D} = \frac{K N}{D J} = \frac{D N}{E J}$

(Vì N là trung điểm của $D K) \Rightarrow \frac{A K}{D N} = \frac{A J}{E J}$

Ta lại có : $\{\begin{cases} D M ⊥ O B (g t) \\ A B ⊥ O B (g t) \end{cases} \Rightarrow D M / / A B \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{A B}{D M} = \frac{A J}{D J} \\ \frac{A P}{D M} = \frac{A K}{D K} \end{cases}$ (Định lý Ta – let)

$\Rightarrow \frac{A P}{D M} = \frac{A K}{2 D N} = \frac{1}{2} . \frac{A J}{E J} = \frac{1}{2} . \frac{A B}{D M} \Rightarrow A P = \frac{A B}{2}$

Vậy P là trung điểm của $A B (d f c m)$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^{2} = x - m + 3 \Leftrightarrow x^{2} - x + m - 3 = 0 (1)$

Để $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow 1 - 4 (m - 3) > 0 \Leftrightarrow 1 - 4 m + 12 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{13}{4} (*)$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} x_{2} = m - 3 \end{cases}$ .

Ta có $A, B \in (P)$ nên $A (x_{1}; x_{1}^{2}), B (x_{2}; x_{2}^{2})$ . Khi đó ta có :

$\begin{array}{l} \sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}} = 1 \Leftrightarrow |x_{1}| + |x_{2}| = 1 \\ \Leftrightarrow {(|x_{1}| + |x_{2}|)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 |x_{1} x_{2}| = 1 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 |x_{1} x_{2}| = 1 \Leftrightarrow 1 - 2 (m - 3) + 2 |m - 3| = 1 \\ \Leftrightarrow |m - 3| = m - 3 \Leftrightarrow m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 3 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện $(*)$ ta được $3 \leq m \leq \frac{13}{4}$

Vậy $3 \leq m \leq \frac{13}{4}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Cho đường tròn $(O)$ và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC của đường tròn $(O)$ (B,C là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $D, K$ (D nằm giữa A,K và B,D nằm cùng phía đối với đường thẳng OA). Gọi H là giao điểm của OA và BC

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Ta có : AB,AClà các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $\{\begin{cases} A B ⊥ O B \\ A C ⊥ O C \end{cases}$

$\Rightarrow ∠ A B O = ∠ A C O = 90 °$

$\Rightarrow ∠ A B O + ∠ A C O = 180 ° \Rightarrow A B O C$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Câu 3

a) Giải phương trình: $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

a) Theo kế hoạch, một đội xe phải chở $150$ tấn hàng từ một khu công nghiệp thuộc huyện Châu Đức đến cảng Cái Mép – Thị Vải. Khi thực hiện thì trong đội có 5 xe phải đi làm việc khác, nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 5 tấn hàng. Tính số xe lúc đầu của đội (biết khối lượng trên mỗi xe chở là như nhau)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x - m + 3$ (m là tham số)

a) Vẽ parabol $(P)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b) Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x - y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1$

a) Giải phương trình: $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x - m + 3$ (m là tham số)

a) Vẽ parabol $(P)$

b) Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x - y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$