Cho đường tròn $\left(O;R\right)$  và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn $\left(O\right)$ tại hai điểm A,B .Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M qua M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn $\left(O\right)$(C, là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng tứ giác OMCH nội tiếp được trong một đường tròn

c) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+1\right)=m^2+4m+4-4m-4=m^2$ 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0\iff m\ne 0$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m+2\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m+1\end{array}\right.$

Do hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có $x_1,x_2>0$ suy ra : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ m+1>0\end{array}\right.\iff m>-1$

Vì $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền $h=\frac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

b) Vẽ đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{4}{x}^2$

Ta có bảng giá trị

$\begin{array}{l}x-4-2024\\ y=-\frac{1}{4}{x}^2-4-10-1-4\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số $\left(P\right):y=-\frac{1}{4}{x}^2$ là đường cong đi qua các điểm $\left(-4;-4\right);$ $\left(-2;-1\right);\left(0;0\right);\left(2;-1\right);\left(4;-4\right)$

Đồ thị hàm số