Câu hỏi:

19/08/2025 3,143

c) Đường thẳng qua O vuông góc OM với cắt các tia MC, MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) Ta có : MO là phân giác của $∠ P M Q$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$M O$ là đường cao của $Δ P M Q (d o P Q ⊥ O M (g t))$

$\Rightarrow Δ M P Q$ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)

$\Rightarrow M O$ đồng thời là trung tuyến của $Δ M P Q \Rightarrow O$ là trung điểm của $P Q$

$\Rightarrow O P = \frac{1}{2} P Q$ . Ta có : $S_{Δ M P Q} = \frac{1}{2} . M O . P Q = O M . O P$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vuông tại O có đường cao OC ta có :

$\frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O P^{2}} = \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{R^{2}}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $\frac{1}{O M^{2}}$ và $\frac{1}{O P^{2}}$ ta có :

$\frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O P^{2}} \geq \frac{2}{O M . O P} = \frac{2}{S_{Δ M P Q}} \Rightarrow \frac{1}{R^{2}} \geq \frac{2}{S_{M P Q}} \Leftrightarrow S_{Δ M P Q} \geq 2 R^{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} O M = O P \\ \frac{2}{O M^{2}} = \frac{1}{R^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} O M = O P \\ O M = R \sqrt{2} \end{cases}$

Vậy $S_{Δ M P Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2 R^{2}$ khi $O M = R \sqrt{2}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền là $h = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Xem đáp án

Lời giải

c) Phương trình (1) có $Δ = {(m + 2)}^{2} - 4 (m + 1) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m - 4 = m^{2}$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thì $Δ > 0 \Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m + 1 \end{cases}$

Do hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có $x_{1}, x_{2} > 0$ suy ra : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 2 > 0 \\ m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > - 1$

Vì $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền $h = \frac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}} \Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4} \\ \Leftrightarrow 4. [{(m + 2)}^{2} - 2 (m + 1)] = 5 {(m + 1)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} + 8 m + 8 = 5 m^{2} + 10 m + 5 \\ \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 = 0 \end{array}$

Ta có : $a + b + c = 1 + 2 + (- 3) = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{l} m_{1} = 1 (t m) \\ m_{2} = \frac{c}{a} = - 3 (k t m) \end{array}$

Vậy m = 1là giá trị cần tìm.

Câu 2

Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm A,B .Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M qua M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn $(O)$ (C, là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng tứ giác OMCH nội tiếp được trong một đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì H là trung điểm của $A B (g t) \Rightarrow O H ⊥ A B$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) $\Rightarrow ∠ O H M = 90 °$

Xét tứ giác $O M C H$ có $∠ O H M = ∠ O C M = 90 ° \Rightarrow O M C H$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Câu 3

b) Cho hàm số $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d : y = \frac{1}{2} x - 2$ . Vẽ đồ thị $(P)$ và tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ với đường thẳng d bằng phép tính

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

a) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x - 2 y = 5 \\ 2 x - y = 7 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

a) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{28} + \sqrt{63} - 2 \sqrt{7}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b) OM cắt đường tròn $(O)$ tại I và cắt CD tại K. Chứng minh $O K . O M = R^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền là $h = \frac{2}{\sqrt{5}}$

b) Cho hàm số $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d : y = \frac{1}{2} x - 2$ . Vẽ đồ thị $(P)$ và tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ với đường thẳng d bằng phép tính

a) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x - 2 y = 5 \\ 2 x - y = 7 \end{cases}$

a) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{28} + \sqrt{63} - 2 \sqrt{7}$

b) OM cắt đường tròn $(O)$ tại I và cắt CD tại K. Chứng minh $O K . O M = R^{2}$