c) Đường thẳng qua O vuông góc OM với cắt các tia MC, MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

c) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+1\right)=m^2+4m+4-4m-4=m^2$ 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0\iff m\ne 0$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m+2\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m+1\end{array}\right.$

Do hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có $x_1,x_2>0$ suy ra : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ m+1>0\end{array}\right.\iff m>-1$

Vì $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền $h=\frac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

a) Vì H là trung điểm của $AB\left(gt\right)\Rightarrow OH\perp AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)$\Rightarrow \angle OHM=90°$

Xét tứ giác $OMCH$có $\angle OHM=\angle OCM=90°\Rightarrow OMCH$là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)