Cho tam giác ABC   vuông cân ở A, đường cao $AH\left(H\in BC\right).$ Trên AC  lấy điểm M $\left(M\ne A,M\ne C\right)$ và vẽ đường tròn đường kính MC  Kẻ BM cắt AH  tại E và cắt đường tròn tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

a)    Tứ giác CDEF  là một tứ giác nội tiếp

          Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh) $\left(x\in \mathbb{N}*\right)$

Gọi số học sinh lớp 9B là y  (học sinh) $\left(y\in \mathbb{N}*\right)$

Số sách giáo khoa lớp 9A tặng cho trường là: 6x  (quyển sách)

Số sách tham khảo lớp 9A tặng cho trường là: 3x  (quyển sách)

Số sách giáo khoa lớp tặng cho trường là:5y  (quyển sách)

Số sách tham khảo lớp 9B tặng cho trường là : 4y  (quyển sách)

Tổng số sách cả hai lớp tặng cho trường là quyển nên ta có phương trình:

$6x+3x+5y+4y=738\iff 9x+9y=738\iff x+y=82\left(1\right)$

Tổng số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình:

$6x+5y-\left(3x+4y\right)=166\iff 3x+y=166\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=82\\ 3x+y=166\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=84\\ y=82-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=42\left(tm\right)\\ y=40\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$  vuông tại C ta có: $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2=3^2+4^2=5^2\Rightarrow BC=5cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$  vuông tại A có đường cao AH ta có:

$AH.BC=AB.AC\iff AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\mathrm{2,4}cm$

Ta có: $\cos \widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$