Câu hỏi:

19/08/2025 384

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề bài ta có: $a + b + 3 a b = 1 \Leftrightarrow 3 a b = 1 - (a + b) \Leftrightarrow a b = \frac{1 - (a + b)}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1 - (a + b)}{3} \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \\ \Leftrightarrow 4 - 4 (a + b) \leq 3 {(a + b)}^{2} \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 4 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) (a + b + 2) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (a + b + 2) [3 (a + b) - 2] \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) - 2 \geq 0 (d o ... a + b + 2 > 0 \forall a, b > 0) \\ \Leftrightarrow a + b \geq \frac{2}{3} \\ \Rightarrow P = \frac{6 a b}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) = \frac{2 - 2 (a + b)}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) \\ \leq \frac{2}{a + b} - 2 - \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \leq \frac{2}{\frac{2}{3}} - 2 - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{2} = \frac{7}{9} \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a + b = \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Vậy $M a x P = \frac{7}{9} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O.

Xem đáp án

Lời giải

c, Gọi S là giao điểm của AB và MO

Áp dụng hệ thức lượng cho $Δ M A O$ vuông ta có $M A^{2} = M S . M O$

Mà $M A^{2} = M C . M D (c m t) \Rightarrow M S . M O = M C . M D \Rightarrow \frac{M C}{M S} = \frac{M O}{M D}$ , lại có $\hat{M}$ chung

$\Rightarrow Δ M C S ~ Δ M O D (c g c) \Rightarrow \hat{M C S} = \hat{M O D}$ , mà hai góc này ở vị trí góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện $\Rightarrow C S O D$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$ Đường tròn ngoại tiếp $Δ O C D$ đi qua điểm S cố định

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt{50} - \sqrt{18}$

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ đi qua hai điểm $M (1; 5)$ và $N (2; 8)$

b, Chứng minh $M C . M D = M A^{2}$

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} (a \neq 0, a \neq \pm 1)$