Câu hỏi:

05/09/2022 143

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề bài ta có: $a + b + 3 a b = 1 \Leftrightarrow 3 a b = 1 - (a + b) \Leftrightarrow a b = \frac{1 - (a + b)}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1 - (a + b)}{3} \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \\ \Leftrightarrow 4 - 4 (a + b) \leq 3 {(a + b)}^{2} \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 4 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) (a + b + 2) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (a + b + 2) [3 (a + b) - 2] \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) - 2 \geq 0 (d o ... a + b + 2 > 0 \forall a, b > 0) \\ \Leftrightarrow a + b \geq \frac{2}{3} \\ \Rightarrow P = \frac{6 a b}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) = \frac{2 - 2 (a + b)}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) \\ \leq \frac{2}{a + b} - 2 - \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \leq \frac{2}{\frac{2}{3}} - 2 - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{2} = \frac{7}{9} \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a + b = \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Vậy $M a x P = \frac{7}{9} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,235

Câu 2:

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt{50} - \sqrt{18}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,056

Câu 3:

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ đi qua hai điểm $M (1; 5)$ và $N (2; 8)$

Xem đáp án » 12/07/2024 705

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến $M A, M B$ với đường tròn A,B là tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D(C nằm giữa M và D)

a, Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 329

Câu 5:

Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Xem đáp án » 12/07/2024 276

Câu 6:

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} (a \neq 0, a \neq \pm 1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 232

Câu 7:

b, Chứng minh $M C . M D = M A^{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 219

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a+b+3ab=1 Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức P=6aba+b−a2−b2

Nhà sách VIETJACK:

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O.

Rút gọn các biểu thức sau: a, A=50−18

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng d:y=ax+b đi qua hai điểm M1;5 và N2;8

Rút gọn các biểu thức sau: b, B=2a2+a−2a+1:1−aa2+2a+1(a≠0,a≠±1)

b, Chứng minh MC.MD=MA2

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt{50} - \sqrt{18}$

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ đi qua hai điểm $M (1; 5)$ và $N (2; 8)$

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} (a \neq 0, a \neq \pm 1)$

b, Chứng minh $M C . M D = M A^{2}$