Câu hỏi:

05/09/2022 183

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề bài ta có: $a + b + 3 a b = 1 \Leftrightarrow 3 a b = 1 - (a + b) \Leftrightarrow a b = \frac{1 - (a + b)}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1 - (a + b)}{3} \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \\ \Leftrightarrow 4 - 4 (a + b) \leq 3 {(a + b)}^{2} \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 4 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b) - 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 {(a + b)}^{2} + 6 (a + b) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) (a + b + 2) - 2 (a + b + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (a + b + 2) [3 (a + b) - 2] \geq 0 \\ \Leftrightarrow 3 (a + b) - 2 \geq 0 (d o ... a + b + 2 > 0 \forall a, b > 0) \\ \Leftrightarrow a + b \geq \frac{2}{3} \\ \Rightarrow P = \frac{6 a b}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) = \frac{2 - 2 (a + b)}{a + b} - (a^{2} + b^{2}) \\ \leq \frac{2}{a + b} - 2 - \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \leq \frac{2}{\frac{2}{3}} - 2 - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{2} = \frac{7}{9} \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a + b = \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Vậy $M a x P = \frac{7}{9} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,703

Câu 2:

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt{50} - \sqrt{18}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,207

Câu 3:

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ đi qua hai điểm $M (1; 5)$ và $N (2; 8)$

Xem đáp án » 12/07/2024 795

Câu 4:

b, Chứng minh $M C . M D = M A^{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 404

Câu 5:

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến $M A, M B$ với đường tròn A,B là tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D(C nằm giữa M và D)

a, Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 387

Câu 6:

Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Xem đáp án » 12/07/2024 347

Câu 7:

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} (a \neq 0, a \neq \pm 1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 292

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a+b+3ab=1 Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức P=6aba+b−a2−b2

Bình luận

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O.

Rút gọn các biểu thức sau: a, A=50−18

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng d:y=ax+b đi qua hai điểm M1;5 và N2;8

b, Chứng minh MC.MD=MA2

Rút gọn các biểu thức sau: b, B=2a2+a−2a+1:1−aa2+2a+1(a≠0,a≠±1)

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$

Tìm giá tị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt{50} - \sqrt{18}$

a, Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ đi qua hai điểm $M (1; 5)$ và $N (2; 8)$

b, Chứng minh $M C . M D = M A^{2}$

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} (a \neq 0, a \neq \pm 1)$