Cho tam giác nhọn $ABC\left(AB<AC\right)$ nội tiếp đường tròn tâm O. E là điểm chính giữa cung nhỏ BC

a) Chứng minh $\angle CAE=\angle BCE$

Gọi số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là $x\left(x>0\right)$(đồng)

Số tiền điện nhà bạn B phải trả trong tháng 4 là $y\left(y>0\right)$(đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 4 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là 560 000 đồng nên ta có phương trình $x+y=560000\left(1\right)$

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A phải trả là $x+30\%x=\mathrm{1,3}x$(đồng)

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn B phải trả là $y+20\%y=\mathrm{1,2}y$(đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là 701 000 đồng nên ta có phương trình: $\mathrm{1,3}x+\mathrm{1,2}y=701000\left(2\right)$

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=560000\\ \mathrm{1,3}x+\mathrm{1,2}y=701000\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=290000\\ y=270000\end{array}\right.\left(tm\right)$

Vậy số tiền điện nhà bạn An phải trả trong tháng 4 là 290 000 đồng

Nhận thấy : $290000=100.1500+50.2000+10.4000$

Vậy số điện nhà bạn A dùng trong tháng 4 là :

          $100+50+10=160\left(k\text{W}h\right)$

* Ta có: $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le 3\left(a+b+b+c+c+a\right)=6.2021\\ =12126\left(BDTBunhiacopxki\right)\Rightarrow P^2\le 12126\Rightarrow P\le \sqrt{12126}\end{array}$

Dấu $"="$xảy ra $\iff 2021-c=2021-a=a+c\iff \left\{\begin{array}{l}a=c\\ 2021-a=2a\end{array}\right.\iff a=b=c=\frac{2021}{3}$

Vậy $P_{\max }=\sqrt{12126}\iff a=b=c=\frac{2021}{3}$

*Tìm GTNN

$\left\{\begin{array}{l}a,b,c\ge 0\\ a+b+c=2021\end{array}\right.$. Ta có: $2021\ge a+b\ge 0$

$\begin{array}{l}\sqrt{a+b}\left(\sqrt{2021}-\sqrt{a+b}\right)\ge 0\Rightarrow \sqrt{2021\left(a+b\right)}-\left(a+b\right)\ge 0\\ \Rightarrow \sqrt{a+b}\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(a+b\right)\left(1\right)\end{array}$

Chứng minh tương tự :

$b+c\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(b+c\right)\left(2\right),\sqrt{c+a}\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(c+a\right)\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3)$\Rightarrow P\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}.2\left(a+b+c\right)=2\sqrt{2021}$

Dấu $"="$xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a=2021\\ b=c=0\end{array}\right.$

Vậy $MinP=2\sqrt{2021}\iff \left\{\begin{array}{l}a=2021\\ b=c=0\end{array}\right.$