Cho hàm số $y=\left(m-4\right)x+m+4$ ( m là tham số)

a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên .

b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol $\left(P\right):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $x_1$, $x_2$ là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho $x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)=18$.

c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng (d). Chứng minh khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến (d) không lớn hơn $\sqrt{65}$.

a)

$y=\left(m-4\right)x+m+4$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff m-4>0\iff m>4$.

Vậy m > 4 thì hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

b)

$\left(d\right):y=\left(m-4\right)x+m+4,\left(P\right):y=x^2$.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d), (P): $x^2=\left(m-4\right)x+m+4$

$\iff x^2-\left(m-4\right)x-\left(m+4\right)=0\left(1\right)$, Có $a=1\ne 0$

Có $\Delta ={\left(m-4\right)}^2+4\left(m+4\right)=m^2-4m+32={\left(m-2\right)}^2+28>0,\forall m\in ℝ$

Do có $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0,\forall m\in ℝ\end{array}\right.$        

Suy ra (d) cắt luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt .

Có $x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)=18$$\iff x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)-18=0$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)-18=0$, mà $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-4\\ x_1{x}_2=-\left(m+4\right)\end{array}\right.$

$\iff {\left(m-4\right)}^2+2\left(m+4\right)-\left(m-4\right)-18=0$$\iff m^2-7m+10=0\iff \left(m-5\right)\left(m-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=5\\ m=2\end{array}\right.$.

Vậy m = 5, m = 2 thỏa yêu cầu bài

c)

*Trường hơp 1: Xét $m-4=0\iff m=4$, thì (d): y = 8, (d) song song trục Ox, (d) cắt trục Oy tại B(0; 8)

Có khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là OB = 8

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d).

$\Delta OAB$ vuông tại O có $OH\perp AB$, Có OH.AB = OA.OB

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{{\left(m-4\right)}^2}{{\left(m+4\right)}^2}+\frac{1}{{\left(m+4\right)}^2}=\frac{{\left(m-4\right)}^2+1}{{\left(m+4\right)}^2}$

$\Rightarrow O{H}^2=\frac{{\left(m+4\right)}^2}{{\left(m-4\right)}^2+1}$

Giả sử $OH>\sqrt{65}\iff O{H}^2>65\iff \frac{{\left(m+4\right)}^2}{{\left(m-4\right)}^2+1}>65\iff m^2+8m+16>65\left(m^2-8m+17\right)$ 

$\iff 64m^2-528m+1089<0\iff {\left(8m\right)}^2-\mathrm{2.16.8}m+{33}^2<0\iff {\left(8m-33\right)}^2<0$(sai)

Vậy $OH\le \sqrt{65}$.