Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AH. Từ điểm H kẻ HM vuông góc với AB (M Î AB) và HN vuông góc với AC (N Î AC).

a) Chứng minh: Tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh:  $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

c) Tia MN cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh: AD² = AN.AC.

a) Ta có: HM ^ AB Þ  $\widehat{HMB}=\widehat{HMA}=90°$

HN ^ AC Þ  $\widehat{HNA}=\widehat{HNC}=90°$

Xét tứ giác AMHN có  $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}$= 90° + 90° = 180°.

Mà hai góc nằm ở vị trí đối nhau.

Do đó tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Ta có  $\widehat{AMN}=\widehat{AHN}$ (chứng minh trên)

Suy ra  $\widehat{AHN}+\widehat{NHC}$=  $\widehat{AHC}$= 90°

Mà  $\widehat{NHC}+\widehat{NCH}$= 90° (∆HNC có  $\widehat{HNC}$= 90°)

Nên  $\widehat{AHN}=\widehat{NCH}$ hay  $\widehat{AHN}=\widehat{ACB}$ 

Mà  $\widehat{AMN}=\widehat{AHN}$ 

Do đó  $\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$.

c) Ta có  $\widehat{AMN}+\widehat{BMN}=180°$ 

Suy ra  $\widehat{ACB}+\widehat{BMN}$ = 180° hay  $\widehat{BMN}+\widehat{BCN}$ = 180°

Do đó tứ giác BMNC nội tiếp.

Suy ra  $\widehat{MBC}+\widehat{MNC}$= 180° hay  $\widehat{ABC}+\widehat{MNC}$ = 180°

Mà tứ giác ADCB nội tiếp đường tròn (O) nên  $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}$ = 180°.

Suy ra  $\widehat{MNC}=\widehat{ADC}$ mà  $\widehat{AND}=\widehat{MNC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó  $\widehat{AND}=\widehat{ADC}$

Xét ∆AND và ∆ADC có:

 $\widehat{CAD}$ chung

 $\widehat{AND}=\widehat{ADC}$(cmt)

Do đó ∆AND  ∆ADC (g.g)

Suy ra  $\frac{AN}{AD}=\frac{AD}{AC}$

Do đó AD² = AN.AC (đpcm).