Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AH. Từ điểm H kẻ HM vuông góc với AB (M Î AB) và HN vuông góc với AC (N Î AC).

a) Chứng minh: Tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh:  $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

c) Tia MN cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh: AD² = AN.AC.

a)  $\left\{\begin{array}{c}4x-y=5\left(1\right)\\ 3x+y=9\left(2\right)\end{array}\right.$

Cộng phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được:

7x = 14 Û x = 2.

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được: 4.2 – y = 5 Û y = 3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 3).

b) x² + 4x – 5 = 0

Û x² – x + 5x – 5 = 0

Û x(x – 1) + 5(x – 1) = 0

Û (x + 5).(x – 1) = 0

Û  $\left[\begin{array}{c}x+5=0\\ x-1=0\end{array}\right.$ Û  $\left[\begin{array}{c}x=-5\\ x=1\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; −5}.

Gọi số tự nhiên thứ nhất cần tìm là x (x > 0).

Số tự nhiên thứ hai cần tìm là x – 3.

Theo đề bài, tích của hai số tự nhiên bằng 108 nên ta có phương trình:

x(x – 3) = 108

Û x² – 3x – 108 = 0

Û x² + 9x – 12x – 108 = 0

Û x(x + 9) – 12(x + 9) = 0

Û (x + 9)(x – 12) = 0

Û  $\left[\begin{array}{c}x+9=0\\ x-12=0\end{array}\right.$

Û  $\left[\begin{array}{c}x=-9\left(KTM\right)\\ x=12\left(TM\right)\end{array}\right.$ 

Vậy số tự nhiên thứ nhất cần tìm là 12 và số tự nhiên thứ hai cần tìm là 12 – 3 = 9.