b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$sao cho $x_1^3+x_2^3=68$

b) Xét phương trình hoành độ giao điềm :

$\frac{1}{2}{x}^2=x+\frac{1}{2}{m}^2+m+1\iff x^2-2x-m^2-2m-2=0\left(*\right)$

Để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

$\iff \Delta \text{'}>0\iff 1+m^2+2m+2>0\iff m^2+2m+3>0\iff {\left(m+1\right)}^2+2>0$

Do ${\left(m+1\right)}^2\ge 0\Rightarrow {\left(m+1\right)}^2+2>0$(với mọi m) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  $x_1;x_2$

$\Rightarrow$Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=-m^2-2m-2\end{array}\right.$

Theo đề bài ra ta có :$\begin{array}{l}{x}_1^3+x_2^3=68\iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=68\\ \iff 2^3-3.\left(-m^2-2m-2\right).2=68\\ \iff 6m^2+12m-48=0\iff m^2+2m-8=0\left(**\right)\end{array}$

Ta có ${\Delta }_m\text{'}=1^2-1.\left(-8\right)=9=3^2>0$ nên phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}m=-1+3=2\\ m=-1-3=-4\end{array}\right.$

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn là m = 2 hoặc m = -4