Hai trường A và B có tất cả 630 học sinh đậu vào lớp 10 công lập, đạt tỉ lệ 84% tổng số học sinh dự thi của hai trường. Riêng trường A có tỉ lệ đậu là 80%. Riêng trường B có tỉ lệ đậu là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

a) Ta có: $\widehat{BFC}$ = 90° (CF là đường cao)

 $\widehat{BEC}$= 90° (BE là đường cao)

Xét tứ giác BFEC có  $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}$= 90°

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Ta có BE, CF là đường cao trong ∆ABC và BE, CF cắt nhau tại H.

Khi đó, H là trực tâm ∆ABC nên AD là đường cao.

Do đó  $\widehat{ADC}$= 90°.

Xét ∆AHE và ∆ACD có:

 $\widehat{DAC}$ là góc chung.

 $\widehat{AEH}=\widehat{ADC}$(= 90°).

Do đó ∆AHE  $\backsim$ ∆ACD (g.g).

Suy ra  $\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AD}$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy AE.AC = AH.AD (đpcm).

c) Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn tâm O.

Ta có:  $\widehat{ABC}=\widehat{xAC}$(cùng chắn cung AC).

 $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180°$(tứ giác BFEC nội tiếp).

Hay  $\widehat{ABC}+\widehat{FEC}=180°$

Mà  $\widehat{CEF}+\widehat{AEF}=180°$

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$mà  $\widehat{ABC}=\widehat{xAC}$

Do đó  $\widehat{xAC}=\widehat{AEF}$ Þ EF // Ax

Mà Ax ^ OA(tiếp tuyến đường tròn tâm O) hay Ax ^ AK (AK là đường kính)

Suy ra EF ^ AK.

Ta có: AK ^ EF (chứng minh trên) mà MN ^ AK Þ EF // MN

Suy ra  $\widehat{FEM}=\widehat{EMN}$ mà  $\widehat{FEM}=\widehat{FCB}$ (cùng chắn cung BF).

Nên  $\widehat{EMN}=\widehat{FCB}$

Do đó  $\widehat{NMD}=\widehat{NHD}$.

Vậy HNDM nội tiếp (cùng nhìn cạnh ND dưới hai góc bằng nhau).