Câu hỏi:

12/07/2024 26,421

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD.

c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK ^ EF và tứ giác HNDM nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn. b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD. c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK  EF và tứ giác HNDM nội tiếp. (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{B F C}$ = 90° (CF là đường cao)

$\hat{B E C}$ = 90° (BE là đường cao)

Xét tứ giác BFEC có $\hat{B F C} = \hat{B E C}$ = 90°

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Ta có BE, CF là đường cao trong ∆ABC và BE, CF cắt nhau tại H.

Khi đó, H là trực tâm ∆ABC nên AD là đường cao.

Do đó $\hat{A D C}$ = 90°.

Xét ∆AHE và ∆ACD có:

$\hat{D A C}$ là góc chung.

$\hat{A E H} = \hat{A D C}$ (= 90°).

Do đó ∆AHE $∽$ ∆ACD (g.g).

Suy ra $\frac{A H}{A E} = \frac{A C}{A D}$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy AE.AC = AH.AD (đpcm).

c) Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn tâm O.

Ta có: $\hat{A B C} = \hat{x A C}$ (cùng chắn cung AC).

$\hat{F B C} + \hat{F E C} = 180 °$ (tứ giác BFEC nội tiếp).

Hay $\hat{A B C} + \hat{F E C} = 180 °$

Mà $\hat{C E F} + \hat{A E F} = 180 °$

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A E F}$ mà $\hat{A B C} = \hat{x A C}$

Do đó $\hat{x A C} = \hat{A E F}$ Þ EF // Ax

Mà Ax ^ OA(tiếp tuyến đường tròn tâm O) hay Ax ^ AK (AK là đường kính)

Suy ra EF ^ AK.

Ta có: AK ^ EF (chứng minh trên) mà MN ^ AK Þ EF // MN

Suy ra $\hat{F E M} = \hat{E M N}$ mà $\hat{F E M} = \hat{F C B}$ (cùng chắn cung BF).

Nên $\hat{E M N} = \hat{F C B}$

Do đó $\hat{N M D} = \hat{N H D}$ .

Vậy HNDM nội tiếp (cùng nhìn cạnh ND dưới hai góc bằng nhau).

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số y = −x² có đồ thị là P và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (D).

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Xem đáp án » 11/07/2024 5,697

Câu 2:

Hai trường A và B có tất cả 630 học sinh đậu vào lớp 10 công lập, đạt tỉ lệ 84% tổng số học sinh dự thi của hai trường. Riêng trường A có tỉ lệ đậu là 80%. Riêng trường B có tỉ lệ đậu là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,324

Câu 3:

Một chi tiết máy có các kích thước như hình 1. Tính thể tích của chi tiết máy đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án » 11/07/2024 3,737

Câu 4:

ho phương trình: 2x² – 3x – 8 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂.

a) Không giải phương trình, hãy tính S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂.

b) Tính: $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,072

Câu 5:

Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) được biểu diễn bởi công thức s = 4t².

a) Sau 2 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?

Xem đáp án » 12/07/2024 792

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Cho hàm số y = −x2 có đồ thị là P và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (D). a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Một chi tiết máy có các kích thước như hình 1. Tính thể tích của chi tiết máy đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

ho phương trình: 2x2 – 3x – 8 = 0 có hai nghiệm x1; x2. a) Không giải phương trình, hãy tính S = x1 + x2 và P = x1x2. b) Tính: x1x2+x2x1.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = −x² có đồ thị là P và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (D).

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

ho phương trình: 2x² – 3x – 8 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂.

a) Không giải phương trình, hãy tính S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂.

b) Tính: $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} .$