Câu hỏi:

12/07/2024 31,399

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD.

c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK ^ EF và tứ giác HNDM nội tiếp.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn. b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD. c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK  EF và tứ giác HNDM nội tiếp. (ảnh 1)

a) Ta có: BFC^ = 90° (CF là đường cao)

 BEC^= 90° (BE là đường cao)

Xét tứ giác BFEC có  BFC^=BEC^= 90°

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Ta có BE, CF là đường cao trong ∆ABC và BE, CF cắt nhau tại H.

Khi đó, H là trực tâm ∆ABC nên AD là đường cao.

Do đó  ADC^= 90°.

Xét ∆AHE và ∆ACD có:

 DAC^ là góc chung.

 AEH^=ADC^(= 90°).

Do đó ∆AHE   ∆ACD (g.g).

Suy ra  AHAE=ACAD (cặp cạnh tương ứng).

Vậy AE.AC = AH.AD (đpcm).

c) Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn tâm O.

Ta có:  ABC^=xAC^(cùng chắn cung AC).

 FBC^+FEC^=180°(tứ giác BFEC nội tiếp).

Hay  ABC^+FEC^=180°

Mà  CEF^+AEF^=180°

Suy ra ABC^=AEF^mà  ABC^=xAC^

Do đó  xAC^=AEF^ Þ EF // Ax

Mà Ax ^ OA(tiếp tuyến đường tròn tâm O) hay Ax ^ AK (AK là đường kính)

Suy ra EF ^ AK.

Ta có: AK ^ EF (chứng minh trên) mà MN ^ AK Þ EF // MN

Suy ra  FEM^=EMN^ mà  FEM^=FCB^ (cùng chắn cung BF).

Nên  EMN^=FCB^

Do đó  NMD^=NHD^.

Vậy HNDM nội tiếp (cùng nhìn cạnh ND dưới hai góc bằng nhau).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số y = −x2 có đồ thị là P và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (D).

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,356

Câu 2:

Hai trường A và B có tất cả 630 học sinh đậu vào lớp 10 công lập, đạt tỉ lệ 84% tổng số học sinh dự thi của hai trường. Riêng trường A có tỉ lệ đậu là 80%. Riêng trường B có tỉ lệ đậu là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,649

Câu 3:

Một chi tiết máy có các kích thước như hình 1. Tính thể tích của chi tiết máy đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Một chi tiết máy có các kích thước như hình 1. Tính thể tích của chi tiết máy đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 1)

Xem đáp án » 11/07/2024 4,001

Câu 4:

ho phương trình: 2x2 – 3x – 8 = 0 có hai nghiệm x1; x2.

a) Không giải phương trình, hãy tính S = x1 + x2 và P = x1x2.

b) Tính:  x1x2+x2x1.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,285

Câu 5:

Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) được biểu diễn bởi công thức s = 4t2.

a) Sau 2 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?

Xem đáp án » 12/07/2024 818
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay