Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD.

c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK ^ EF và tứ giác HNDM nội tiếp.

a) Vẽ (P)

Bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm: A(−2; −4), B(−1; −1), O(0; 0), C(1; −1), D(2; −4).

Vẽ (D)

Đường thẳng (D): y = 2x – 3 có a = 2, b = −3 đi qua hai điểm có tọa độ (0; b) và  $\left(\frac{-b}{a};0\right).$

Do đó, hai điểm thuộc đường thẳng (D) là M(0; −3) và N $\left(\frac{3}{2};0\right)$.

 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là:

−x² = 2x – 3

Û −x² – 2x + 3 = 0

Û x² + 2x – 3 = 0

Û x² – x + 3x – 3 = 0

Û x(x – 1) + 3(x – 1) = 0

Û (x+3)(x – 1) = 0

Û  $\left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right.$

• Với x = −3 thì y = 2x – 3 = 2 . (−3) – 3 = −9.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (D) là E(−3; −9).

• Với x = 1 thì y = 2x – 3 = 2 . 1 – 3 = −1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (D) là F(1; −1).

Vậy đồ thị hàm số (P) và (D) có 2 giao điểm là E(−3; −9) và F(1; −1).

Gọi x (học sinh), y (học sinh) lần lượt là số học sinh dự thi của trường A và trường B (x, y > 0).

Trường A có tỉ lệ đậu là 80%, trường B có tỉ lệ đậu là 90% và có 84% tổng thí sinh dự thi của hai trường thi đậu, ta có phương trình:

80%x + 90%y = 84%(x + y)

Û 0,8x + 0,9y = 0,84x + 0,84y

Û −0,04x + 0,06y = 0 (1)

Theo đề bài, tất cả 630 học sinh đậu vào lớp 10 công lập, đạt tỉ lệ 84% tổng số học sinh dự thi của hai trường, nên ta có phương trình:

84%(x + y) = 630

Û 0,84x + 0,84y = 630 (2)

Từ (1) và (2) ta lập được hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{c}-0,04x+0,06y=0\\ 0,84x+0,84y=630\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}2x-3y=0\\ x+y=750\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}2x-3.(750-x)=0\\ y=750-x\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}2x-3.(750-x)=0\\ y=750-x\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}2x-2250+3x=0\\ y=750-x\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}5x=2250\\ y=750-x\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{c}x=450\left(TM\right)\\ y=300\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy trường A có 450 học sinh dự thi và trường B có 300 học sinh dự thi.