, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le \mathrm{x}\le 3\right)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và $3\sqrt{9-{\mathrm{x}}^2}$, bằng:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}$. Biết $\mathrm{F}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }\right)=\mathrm{k}$ với mọi $\mathrm{k}\in \mathrm{Z}$. Tính .

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}, \mathrm{y}=0$ và $\mathrm{x}=4$ quanh trục Ox. Đường thẳng x = a (0< a< 4 cắt đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1. Khi đó

Cho vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0; x=2. Cắt vật thể (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $\mathrm{x}\left(0\le \mathrm{x}\le 2\right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left(\mathrm{x}+1\right)e^x$. Thể tích vật thể (T) bằng

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Cho đồ thị $\left(\mathrm{C}\right): \mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ và Parabol $\left(\mathrm{P}\right): \mathrm{y}={\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{p}$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị (C) là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}$ với mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.