Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  $\left(C\right):y=\frac{2x+1}{x+2}$ song song với đường thẳng $\left(\Delta \right):3x-y+2=0$.

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2+6x;d:x+9y=0$ hay $y=-\frac{1}{9}x$ .

Gọi $d^{\text{'}}$ là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm $M\left(x_0;y_0\right)$

Do $d^{\text{'}}\perp d$ nên $d^{\text{'}}$ có hệ số góc $k=9$. Do đó $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=9\iff 3x_0^2+6x_0=9\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=1\Rightarrow y_0=9\\ x_0=-3\Rightarrow y_0=5\end{array}\right.$

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_1\left(1;9\right)$ là: $y=9\left(x-1\right)+9\iff y=9x$.

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_2\left(-3;5\right)$ là: $y=9\left(x+3\right)+5\iff y=9x+32$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-4}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi  $M\left(x_0;y_0\right)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là

 $\Delta :y=\frac{-4}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}$

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$.

$\frac{-4}{{\left(x_0-1\right)}^2}=\pm 1\iff x_0=-\mathrm{1,}{x}_0=3$.

+ Với $x_0=-1$ ta có$y_0=0\Rightarrow \Delta :y=-x-1$.

+ Với $x_0=3$ ta có $y_0=4\Rightarrow \Delta :y=-x+7$.