Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 (1)$

Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với $\forall m$

Ta có : $\{\begin{cases} a = 1 \neq 0 \\ Δ^{'} = {(b^{'})}^{2} - a c > 0 \forall m \end{cases}$

Xét $Δ^{'} = m^{2} - (m^{2} - 1) = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0, \forall m$

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1 (2)$

Ta có $x_{1} x_{2} \neq 0 \Rightarrow m^{2} - 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq \pm 1$

Hai nghiệm của phương trình : $x_{1} = m - 1; x_{2} = m + 1$

Biến đổi biểu thức (2) ta có : $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1 \Rightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 2 + x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} \Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 2 + x_{1} x_{2}$

Thay $x_{1} = m - 1; x_{2} = m + 1$ vào biểu thức $x_{1} + x_{2} = - 2 + x_{1} x_{2}$ ta có :

$m - 1 + m + 1 = - 2 + (m - 1) (m + 1) \Rightarrow m^{2} - 1 - 2 = 2 m \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow (m - 3) (m + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 3 = 0 \\ m + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 1 (L) \end{array}$

Kết Luận : Với m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$

b)Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y = x

Xem đáp án » 13/07/2024 21,030

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng AB, biết A(-1; 4) và B(5; 2)

Xem đáp án » 13/07/2024 16,440

Câu 3:

Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^{2}$ .

Xem đáp án » 30/09/2022 13,911

Câu 4:

Cho parabol $(P) : y = \frac{- 1}{2} x^{2}$ và đường thẳng (d): y = x - 4.

a. Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.

b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Xem đáp án » 30/09/2022 12,240

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số $y = - x^{2}$ có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = 2x - 3m (với m là tham số) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} x_{2}^{2} + x_{2} (3 m - 2 x_{1}) = 6.$

Xem đáp án » 13/07/2024 11,983

Câu 6:

Cho Parabol $(P) : y = 2 x^{2}$ và đường thẳng (d): y = 3x - 1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,973

Câu 7:

Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng (d): y = x + 2.

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .

b) Viết phương trình đường thẳng $(d_{1}) : y = a x + b$ song song với (d) và cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng -2.

Xem đáp án » 30/09/2022 11,440

Xem thêm các câu hỏi khác »