Cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=-x+m$ (x là ẩn, m tham số).

a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng (d) khi m = 4.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ thỏa mãn $x_1{x}_2+y_1{y}_2=5$.

a. Khi m = 4, đường thẳng (d) có dạng: y = -x + 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $\frac{1}{2}{x}^2=-x+4\iff x^2+2x-8=0$ (1)

PT (1) có ${\Delta }^{\text{'}}=1+8=9\Rightarrow \sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=3$

PT (1) có hai nghiệm phân biệt : $\left[\begin{array}{l}{x}_1=-1-3=-4\\ x_2=-1+3=2\end{array}\right.$

Với $x_1=-4\Rightarrow y_1=\frac{1}{2}.{\left(-4\right)}^2=8$

Với $x_2=2\Rightarrow y_2=\frac{1}{2}.{\left(2\right)}^2=2$

Vậy, khi m = 4 thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là (-4; 8) và (2; 2)

b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $\frac{1}{2}{x}^2=-x+m\iff x^2+2x-2m=0$ (2)

PT (2) có ${\Delta }^{\text{'}}=1+2m$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt.

hay ${\Delta }^{\text{'}}=1+2m>0\iff m>-\frac{1}{2}$ (*)

Với ĐK (*) , gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của PT (2).

Áp dụng định lí Viets, ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=-2m\end{array}\right.$ (3)

Với $x=x_1\Rightarrow y_1=-x_1+m$

Với $x=x_2\Rightarrow y_2=-x_2+m$

Xét biểu thức : $x_1{x}_2+y_1{y}_2=5\iff x_1{x}_2+\left(-x_1+m\right)\left(-x_2+m\right)=5$

$\iff x_1{x}_2+x_1{x}_2-m\left(x_1+x_2\right)+m^2=5\iff 2x_1{x}_2-m\left(x_1+x_2\right)+m^2=5$ (4)

Thay (3) vào (4), ta được : $2\left(-2m\right)-m\left(-2\right)+m^2=5\iff m^2-2m-5=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1+\sqrt{6}(t/m(*\left)\right)\\ m=1-\sqrt{6}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(Loaïi)}\end{array}\right.$

Vậy, với $m=1+\sqrt{6}$ thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.