Cho parabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng $y=2(m-1)x+m^2+2m$ (m là tham số, $m\in ℝ$).

a) Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm I (1; 3).

b) Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ hai điểm A, B; tìm m sao cho ${{\text{x}}_1}^2+{{\text{x}}_2}^2+6x_1{x}_2=2020$.

a)

Để đường thẳng (d): $y=2(m-1)x+m^2+2m$ đi qua điểm I (1;3) thì x = 1; y = 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) nên ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}3=2(m-1).1+m^2+2m\\ \iff m^2+2m+2m-2=3\\ \iff m^2+4m-5=0\end{array} \\ \begin{array}{l}\iff m^2-1+4m-4=0\\ \iff \left(m-1\right)\left(m+1\right)+4\left(m-1\right)=0\\ \iff \left(m-1\right)\left(m+5\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m-1=0\\ m+5=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

Vậy với m = 1 hoặc m = - 5 thì đường thẳng (d) đi qua điểm I(1;3)

b)

(P): $y=x^2$ và (d): $y=2(m-1)x+m^2+2m (m\ne 1)$

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l}{x}^2=2(m-1)x+m^2+2m\left(1\right)\\ \iff x^2-2(m-1)x-(m^2+2m)=0\end{array}$

${\Delta }^{\text{'}}={(m-1)}^2+m^2+2m=2m^2+1>0$ với mọi m

       Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Khi đó theo hệ thức Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-(m^2+2m)\end{array}\right.\left(2\right)$

Theo bài ra, ta có: ${{\text{x}}_1}^2+{{\text{x}}_2}^2+6x_1{x}_2=2020$

$\begin{array}{l}\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_2=2020\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2=2020\left(3\right)\end{array}$

Thay (2) vào (3) ta có: 

$\begin{array}{l}{\left[2(m-1)\right]}^2-4(m^2+2m)=2020\\ \iff 4m^2-4m+4-4m^2-8m=2020\\ \iff 12m=-2016\\ \iff m=-168\end{array}$

Vậy m = 168 thỏa mãn bài.