Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI ⊥ AM; CK ⊥ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.

Ta có: ∆ABM = ∆ACN (chứng minh trên) suy ra \[\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\] (hai góc tương ứng) và AM = AN (hai cạnh tương ứng).

∆BIM \(\left( {\widehat {BIM} = 90^\circ } \right)\) và ∆CKN \(\left( {\widehat {CKN} = 90^\circ } \right)\) có:

          BM = CN (giả thiết),

\[\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\] (chứng minh trên).

Nên ∆BIM = ∆CKN (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra MI = NK (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = AN (chứng minh trên – do ∆ABM = ∆ACN) nên AI = AK, suy ra ∆AIK cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Ta có AM = AN (chứng minh trên) nên ∆AMN cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra \[\widehat {AMN} = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}\].

Ta có ∆AIK cân tại A (chứng minh trên) nên \[\widehat {AIK} = \frac{{180^\circ - \widehat {IAK}}}{2}\].

Từ đó \[\widehat {AIK} = \widehat {AMN}\] \[\left( { = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}} \right)\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // MN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).