Cho phân số $A=\frac{1+2+3+\mathrm{...}+9}{11+12+13+\mathrm{...}+19}$.

a) Rút gọn A.

• Do 3 . (–14) ≠ 7 . 6 nên $\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$ không bằng nhau.

• Do 12 . 3 = (–4) . (–9) nên $\frac{12}{-4}=\frac{-9}{3}.$

• Do (–13) . (–9) = 9 . 13 nên $\frac{-13}{9}=\frac{13}{-9}.$

• Do – 5 = $\frac{-5}{1}$ và (–5) . 2 = 1. (–10) nên – 5 = $\frac{-10}{2}$.

• Do với x ∈ ℤ thì 2x . 3 = 6 . x nên $\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}.$

Gọi d = ƯCLN(14n + 3; 21n + 4).

Khi đó 14n + 3 và 21n + 4 chia hết cho d.

Suy ra 3 . (14n + 3) và 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Do đó 3 . (14n + 3) – 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Hay 3 . 14n + 3 . 3 – 2 . 21n – 2 . 4 chia hết cho d.

Từ đó suy ra 42n + 9 – 42n – 8 = 1 chia hết cho d.

Khi đó ta có d = 1.