So sánh 11012+11022+11032+11042+11052 và 122.3.52.7.

Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: 1n−1−1n=n−(n−1)(n−1).n=n−n+1(n−1).n=1(n−1)n>1n2 ⇒1n2<1n−1−1n Áp dụng vào bài toán ta được: 11012<1100−110111022<1101−1102.............................11052<1104−1103⇒11012+11022+...+11052<1100−1105 =105−100100.105=522.52.5.3.7=122.52.3.7 Vậy 11012+11022+...+11052<122.52.3.7

Câu hỏi:

20/10/2022 2,368

So sánh $\frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + \frac{1}{103^{2}} + \frac{1}{104^{2}} + \frac{1}{105^{2}}$ và $\frac{1}{2^{2} {.3.5}^{2} .7}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 5: lũy thừa số mũ tự nhiên có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:

\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n - 1)}{(n - 1) . n} = \frac{n - n + 1}{(n - 1) . n} = \frac{1}{(n - 1) n} > \frac{1}{n^{2}}

$\Rightarrow \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Áp dụng vào bài toán ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{101^{2}} < \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \\ \frac{1}{102^{2}} < \frac{1}{101} - \frac{1}{102} \\ ............................. \\ \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{104} - \frac{1}{103} \\ \Rightarrow \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + ... + \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{100} - \frac{1}{105} \end{array}$

$= \frac{105 - 100}{100.105} = \frac{5}{2^{2} {.5}^{2} .5.3.7} = \frac{1}{2^{2} {.5}^{2} .3.7}$

Vậy $\frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + ... + \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{2^{2} {.5}^{2} .3.7}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

So sánh: $2^{30} + 3^{30} + 4^{30}$ và ${3.24}^{10}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $4^{30} = {(2^{2})}^{30} = {(2.2)}^{30} = 2^{30} {.2}^{30} = {(2^{3})}^{10} . {(2^{2})}^{15} = 8^{10} {.4}^{15}$ ,

$24^{10} .3 = {(8.3)}^{10} .3 = 8^{10} {.3}^{10} .3 = 8^{10} {.3}^{11}$

Vì $3^{11} < 4^{15} \Rightarrow 8^{10} {.3}^{11} < 8^{10} {.4}^{15}$ $\Rightarrow 4^{30} > {3.24}^{10}$

$\Rightarrow 2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > {3.24}^{10}$ .

Câu 2

Chứng minh rằng: $2^{1995} < 5^{863}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $2^{1995} = 2^{1990} {.2}^{5}; 5^{863} = 5^{860} {.5}^{3}$

Nhận xét: $2^{5} = 32 < 5^{3} = 125$ nên cần so sánh $2^{1990}$ và $5^{860}$

Có: $2^{10} = {1024,5}^{5} = 3025 \Rightarrow 2^{10} .3 < 5^{5} \Rightarrow 2^{1720} {.3}^{172} < 5^{860}$

Có: $2^{1990} = 2^{1720} {.2}^{270}$ , cần so sánh $2^{1720} {.2}^{270}$ với số $2^{1720} {.3}^{172}$ như sau:

$\begin{array}{l} 3^{7} = 2187; 2^{11} = 2048 \Rightarrow 3^{7} > 2^{11} \\ 3^{172} = {(3^{7})}^{24} {.3}^{4} > (2^{11}) 2^{4} > (2^{11}) 2^{6} = 2^{270} \end{array}$

Do đó: $2^{1720} {.2}^{270} < 2^{1720} {.3}^{172} < 5^{860} \Rightarrow 2^{1990} < 5^{860}$

Mà $2^{5} < 5^{3} \Rightarrow 2^{1995} < 5^{863}$

Câu 3