Cho ∆ABC có AB = AC ($\widehat{A}<90°$). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB). Gọi I là giao điểm của BH và CK. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Ta có các phát biểu sau:

(I) AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$;

(II) AD ⊥ BC;

(III) D là trung điểm của BC.

Phát biểu đúng là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét ∆AHB và ∆AKC, có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90°$.

AB = AC (giả thiết)

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Do đó ∆AHB = ∆AKC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = AK (cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆AKI và ∆AHI, có:

AI là cạnh chung.

AK = AH (chứng minh trên)

$\widehat{AKI}=\widehat{AHI}=90°$.

Do đó ∆AKI = ∆AHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (cặp góc tương ứng)

Khi đó AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. Do đó (I) đúng.

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung

$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (chứng minh trên)

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c – g – c)

Suy ra BD = CD và $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng)

Khi đó D là trung điểm của BC. Do đó (III) đúng.

Mặt khác ta có $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}$ = 180°

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$= 90° hay AD ⊥ BC. Suy ra (II) đúng.

Vậy (I), (II) và (III) đều đúng.