Cho đoạn thẳng CD. Gọi A là trung điểm của CD. Kẻ một đường thẳng vuông góc với CD tại A. Trên đường thẳng đó, lấy điểm B sao cho $\widehat{BCD}=60°$. Khi đó ∆BCD là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi điểm M là giao điểm của đường trung trực của AB với BC.

Vì M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Suy ra tam giác MAB cân tại M

⇒ $\widehat{B}=\widehat{MAB}$

Ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ và $\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=90°$

⇒ $\widehat{C}=\widehat{MAC}$

⇒ Tam giác MAC cân tại M

⇒ MA = MC ⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC

Vậy M là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC hay ta có M trùng D.

Ta có DA = DB, DA = DC nên DB = DC

Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A)

AD = AE (giả thiết)

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (∆ABC cân tại A) và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$.

Khi đó $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$.

Suy ra ∆IBC cân tại I. Do đó phương án B đúng.

Vì ∆IBC cân tại I nên IB = IC, khi đó I thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác ∆ABC cân tại A nên AB = AC, khi đó A thuộc đường trung trực của BC.

Từ đó ta có AI là đường trung trực của BC.

Vậy ta chọn phương án C.