Câu hỏi:
13/07/2024 17,837Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\). Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Do BN = \(\frac{a}{3}\) và BC = a nên BN = \(\frac{1}{3}\)BC.
Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Lại có: CM = \(\frac{{2a}}{3}\), mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = \(a - \frac{{2a}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3}AC\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = \(\frac{x}{a}AB\).
Suy ra \(\overrightarrow {AP} = \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Do đó, ta có: \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Khi đó, \(AN \bot PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {PM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{{3a}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}.{a^2} + \frac{1}{9}.{a^2} = 0\) (do AB = AC = a)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot a \cdot a \cdot cos60^\circ - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2a - 3x}}{{9a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2a - 3x} \right)a}}{{18}} - \frac{{12xa}}{{18}} + \frac{{2{a^2}}}{{18}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} - 3xa - 12xa + 2{a^2}}}{{18}} = 0\)
⇔ 4a2 – 15xa = 0
⇔ a(4a – 15x) = 0
⇔ 4a – 15x = 0 (do a > 0).
⇔ \(x = \frac{{4a}}{{15}}\).
Vậy \(x = \frac{{4a}}{{15}}\) thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right|\).
Câu 2:
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \).
Câu 5:
Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} và B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.
Câu 6:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là đúng?
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao (P1)
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Số gần đúng và sai số có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Mệnh đề có đáp án
về câu hỏi!