Câu hỏi:
13/07/2024 16,593
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\). Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\). Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Câu hỏi trong đề:
Đề thi Học kì 1 Toán 10 - Bộ sách Kết nối tri thức có đáp án !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do BN = \(\frac{a}{3}\) và BC = a nên BN = \(\frac{1}{3}\)BC.
Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Lại có: CM = \(\frac{{2a}}{3}\), mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = \(a - \frac{{2a}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3}AC\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = \(\frac{x}{a}AB\).
Suy ra \(\overrightarrow {AP} = \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Do đó, ta có: \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Khi đó, \(AN \bot PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {PM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{{3a}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}.{a^2} + \frac{1}{9}.{a^2} = 0\) (do AB = AC = a)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot a \cdot a \cdot cos60^\circ - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2a - 3x}}{{9a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2a - 3x} \right)a}}{{18}} - \frac{{12xa}}{{18}} + \frac{{2{a^2}}}{{18}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} - 3xa - 12xa + 2{a^2}}}{{18}} = 0\)
⇔ 4a2 – 15xa = 0
⇔ a(4a – 15x) = 0
⇔ 4a – 15x = 0 (do a > 0).
⇔ \(x = \frac{{4a}}{{15}}\).
Vậy \(x = \frac{{4a}}{{15}}\) thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right|\).
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right|\).
Xem đáp án »
04/11/2022
19,334
Câu 2:
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Xem đáp án »
04/11/2022
17,730
Câu 4:
Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} và B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.
Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} và B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.
Xem đáp án »
04/11/2022
13,035
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \).
Xem đáp án »
04/11/2022
12,892
Câu 6:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
04/11/2022
11,300
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao (P1)
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
28 câu Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
5 câu Trắc nghiệm Phương sai và độ lệch chuẩn có đáp án (Thông hiểu)
-
80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản (P1)
-
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
về câu hỏi!