Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Biết: \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 30^\circ \), \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \)và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, C, B ta có: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} \).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AB⊥AC ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\) vì D thuộc AC

Vì M là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc ba điểm)

Khi đó ta có \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = 0 - A{B^2} + AC.AD.cos0^\circ - 0\)

\( = - {a^2} + 2a.\frac{a}{2} = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow AM \bot BD\) (đcpcm).