Cho hai điểm A(–2; 1), B(3; 5) và đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 2t\\y = 9 - 5t\end{array} \right.\). Tọa độ của điểm H ∈ d thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có A ∈ AM.

Suy ra tọa độ A(1 + 3t; –2 – 7t).

Lại có A ∈ AH.

Suy ra 2(1 + 3t) + 5(–2 – 7t) + 66 = 0.

Do đó –29t + 58 = 0.

Vì vậy –29t = –58.

Khi đó t = 2.

Suy ra tọa độ A(7; –16).

Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{7 + 4}}{2} = \frac{{11}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 16 - 3}}{2} = - \frac{{19}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó tọa độ \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Đường trung trực d của cạnh AB đi qua điểm \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Suy ra phương trình d: \( - 3\left( {x - \frac{{11}}{2}} \right) + 13\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0\).

⇔ 3x – 13y – 140 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thế tọa độ điểm M(4; 5) vào phương trình ∆, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 - 3t\\5 = 1 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{2}{3}\\t = 2\end{array} \right.\)

Suy ra M(4; 5) ∉ ∆.

Gọi H là hình chiếu của M lên ∆.

Ta có H ∈ ∆. Suy ra tọa độ H(2 – 3t; 1 + 2t).

Ta có \(\overrightarrow {MH} = \left( { - 2 - 3t; - 4 + 2t} \right)\).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MH} \bot \vec u\).

Suy ra \(\overrightarrow {MH} .\vec u = 0\).

Khi đó (–2 – 3t).(–3) + (–4 + 2t).2 = 0.

Vì vậy 13t – 2 = 0.

Suy ra \(t = \frac{2}{{13}}\).

Do đó tọa độ \(H\left( {\frac{{20}}{{13}};\frac{{17}}{{13}}} \right)\).

Vậy hoành độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng ∆ là: \(\frac{{20}}{{13}} \approx 1,538\).

Vậy ta chọn phương án D.