Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x – 6y + 5 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y – 15 = 0 là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\).

Suy ra đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{AB}} = \left( {1;3} \right)\).

Đường thẳng AB đi qua A(2; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của AB: 1(x – 2) + 3(y – 2) = 0.

⇔ x + 3y – 8 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–8; 0) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {2;1} \right)\).

Suy ra phương trình tham số của ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 2t\\y = t\end{array} \right.\)

Ta có C ∈ ∆. Suy ra tọa độ C(2t – 8; t).

Theo đề, ta có diện tích tam giác ABC bằng 17.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C,AB} \right).AB = 17\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2t - 8 + 3t - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}.\sqrt {10} = 17\)

⇔ |5t – 16| = 34

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - 16 = 34\\5t - 16 = - 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\)

Với t = 10, ta có C(12; 10).

Với \(t = - \frac{{18}}{5}\), ta có \(C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\).

Vậy C(12; 10) hoặc \(C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và elip (E) thỏa mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 4; - \frac{9}{5}} \right),\,\,N\left( { - 4;\frac{9}{5}} \right)\).

Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( { - 4 + 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{9}{5} + \frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{18}}{5}\).

Vậy ta chọn phương án C.