Bài toán cổ

Bác kia chăn vịt khác thường

Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy 

Xếp thành hàng 7, đẹp thay

Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.

(Biết số vịt chưa đến 200 con)

 

Lời giải:

Giả sử số vịt là n (con), khi đó n < 200.  (1)

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa nên n không chia hết cho 2 nên n là số lẻ.  (2)

Hàng 3 xếp thấy vẫn thừa một con nên n chia 3 dư 1.  (3)

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn nên n không chia hết cho 4.   (4)

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy nên (n + 1)⋮5.   (5)

Xếp thành hàng 7 đẹp thay nên n⋮7

Từ (4) ta có n + 21 = (n + 1) + 20⋮5.

Từ (5) ta có: n + 21⋮7.  Do Ư CLN(5; 7) = 1 nên n + 21⋮35, tức là n + 21⋮35.

Vì n < 200 nên n + 21 < 221, do đó n + 21 ∈{35; 70; 105; 140; 175; 210}

Suy ra n ∈ {14; 49; 84; 119; 154; 189}

Từ (1), n là số lẻ nên n∈{49; 119; 189}

Từ (2) ta suy ra n = 49

Thử lại, ta thấy đàn vịt có 49 con.