Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M,N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Biết thể tích khối chop S. ABCD là V, tính thể tích khối chóp S. GMN

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Tính tỉ lệ thể tích $\frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}$ dựa vào công thức tỉ lệ thể tích Simpson.

- So sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao S. ECD và S.ABCD, từ đó tính thể tích khối chóp S. GMN.

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AB. Vì G là trọng tâm $\Delta SAB$ nên $\frac{SG}{SE}=\frac{2}{3}$.

Ta có:

$\frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}=\frac{SG}{SE}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{S.GMN}=\frac{1}{6}{V}_{S.ECD}$

Ta có: $S.ECD$ và S. ABCD là hai khối chóp có cùng chiều cao nên

$\frac{V_{S.ECD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{S_{ECD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}d\left(E;CD\right).CD}{d\left(E;CD\right).CD}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ECD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.GMN}=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{12}{V}_{S.ABCD}=\frac{V}{12}$