Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh B(4; –3). Đường trung tuyến AM có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 7t\end{array} \right.\). Đường cao AH có phương trình 2x + 5y + 66 = 0. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB.

Ta có A ∈ AM.

Suy ra tọa độ A(1 + 3t; –2 – 7t).

Lại có A ∈ AH.

Suy ra 2(1 + 3t) + 5(–2 – 7t) + 66 = 0.

Do đó –29t + 58 = 0.

Vì vậy –29t = –58.

Khi đó t = 2.

Suy ra tọa độ A(7; –16).

Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{7 + 4}}{2} = \frac{{11}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 16 - 3}}{2} = - \frac{{19}}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó tọa độ \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Đường trung trực d của cạnh AB đi qua điểm \(I\left( {\frac{{11}}{2}; - \frac{{19}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;13} \right)\).

Suy ra phương trình d: \( - 3\left( {x - \frac{{11}}{2}} \right) + 13\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0\) ⇔ 3x – 13y – 140 = 0.