Tổ 1 của một lớp học có 13 học sinh gồm 8 học sinh nam trong đó có bạn A, và 5 học sinh nữa trong đó có bạn B được xếp ngẫu nhiên vào 13 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết học kì 1. Tính xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời bạn A không ngồi cạnh bạn B?                                     

Chọn C.

Để cho tiện lập luận, ta đánh số 13 ghế theo thứ tự từ 1 đến 13.

Ta có số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=13!=6227020800.$

Xét biến cố H: “xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời bạn A không ngồi cạnh bạn B”.

Xét biến cố K: “xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam”.

Xét biến cố G: “xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời bạn A ngồi cạnh bạn B”.

Ta tính số phần tử của biến cố K như sau:

- Xếp 5 bạn nữ vào 5 ghế có số 1, 4, 7, 10, 13 có 5! cách xếp.

- Xếp 8 bạn nam vào 8 ghế còn lại có 8! cách xếp.

Do đó $n\left(K\right)=5!.8!.$

Ta tính số phần tử của biến cố G như sau:

Trường hợp 1: Bạn B xếp ở ghế có số 1 hoặc 13.

- Xếp bạn nữ B vào ghế có số 1 hoặc 13 có 2 cách xếp.

- Xếp 4 bạn nữ còn lại vào 4 ghế có số 4, 7, 10, 13 (nếu bạn B xếp ở ghế số 1) hoặc vào 4 ghế có số 1, 4, 7, 10 (nếu bạn B xếp ở ghế số 13) có 4! cách xếp.

- Xếp bạn nam A vào ngồi cạnh bạn B có 1 cách xếp.

- Xếp 7 bạn nam vào 7 ghế còn lại có 7! cách xếp.

 Trường hợp 2: Bạn B xếp ở ghế có số 4, 7 hoặc 10.

- Xếp bạn nữ B vào ghế có số 4, 7 hoặc 10 có 3 cách xếp.

- Xếp 4 bạn nữ còn lại vào 4 ghế có số 1, 7, 10, 13 (nếu bạn B xếp ở ghế số 4) hoặc vào 4 ghế có số 1, 4, 10, 13 (nếu bạn B xếp ở ghế số 13) hoặc 4 ghế có số 1, 4, 7, 13 (nếu B xếp ở ghế số 10) có 4! cách xếp.

- Xếp bạn nam A vào ngồi cạnh bạn B có 2 cách xếp.

- Xếp 7 bạn nam vào 7 ghế còn lại có 7! cách xếp.

Do đó $n\left(G\right)=2.4!.7!+3.4!\mathrm{.2.7}!.$

Từ đó suy ra $n\left(H\right)=n\left(K\right)-n\left(G\right)=5!.8!-2.4!.7!-3.4!\mathrm{.2.7}!=3870720$.

Vậy xác suất cần tìm là $p\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3870720}{6227020800}=\frac{4}{6435}.$