Câu hỏi:

12/01/2023 3,485

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tỉ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. $\frac{h}{r} = \sqrt{2}$

B. $\frac{h}{r} = 2$

C. $\frac{h}{r} = 6$

D. $\frac{h}{r} = 3 \sqrt{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 51 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Mặt trụ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần (ảnh 1)

Ta có $V = π h \cdot r^{2} \Rightarrow h = \frac{V}{π r^{2}} \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{V}{π r^{3}}$

Giá thành vật liệu để làm chiếc thùng là $T = (2 π r h + 6 π r^{2}) \cdot A = (\frac{2 V}{r} + 6 π \cdot r^{2}) \cdot A = (\frac{V}{r} + \frac{V}{r} + 6 π r^{2}) \cdot A,$ trong đó A là giá của một đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh của thùng. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương $\frac{V}{r}, \frac{V}{r}, 6 π r^{2}$ được $T \geq 3 \sqrt[3]{6 π V^{2}}$

Dấu “= ” xảy ra khi $\frac{V}{r} = 6 π r^{2} \Leftrightarrow \frac{V}{π r^{3}} = 6$

Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất khi

\frac{h}{r} = 6

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O'). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO' bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Bán kính đáy bằng

A. $\frac{a \sqrt{17}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{14}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{14}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{14}}{9}$

Lời giải

Chọn C

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O'). (ảnh 1)

Gọi r là bán kính đáy.

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên độ dài đường sinh bằng 2r.

Dựng đường sinh AA'.

Gọi M là trung điểm của A' B

$\begin{array}{l} \Rightarrow O' M ⊥ (A A' B) \\ \Rightarrow d (O O', A B) = O' M \\ \Rightarrow O' M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Ta có $A' B = \sqrt{A B^{2} - A A'^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 4 r^{2}}$

Mặt khác $A' M = \sqrt{O' A'^{2} - O' M'^{2}} = \sqrt{r^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}}$

$\Rightarrow \sqrt{4 a^{2} - 4 r^{2}} = 2 \sqrt{r^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} \Leftrightarrow r = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Câu 2

Cho khối trụ (T) có bán kính đáy R=1, thể tích $V = 5 π$ . Diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng là

A. $S = 12 π$

B. $S = 11 π$

C. $S = 10 π$

D. $S = 7 π$

Lời giải

Chọn A

Vì bán kính đáy R=1, thể tích $V = 5 π \Rightarrow π {.1}^{2} . h = 5 π .$

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là $S = 2 π .1.5 + 2 π {.1}^{2} = 12 π$

Câu 3

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\frac{a}{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ bằng

A. $3 π a^{3}$

B. $π a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $π a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình trụ có chiều cao bằng $3 \sqrt{3}$ . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. $6 π \sqrt{3}$

B. $6 π \sqrt{39}$

C. $3 π \sqrt{39}$

D. $12 π \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình lập phương.

B. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình hộp.

C. Tồn tại một mặt nón tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều.

D. Tồn tại một mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc 30^o. Hỏi $(α)$ cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2 R \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{4 R}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{2 R}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho khối trụ (T) có bán kính đáy R=1, thể tích V=5π. Diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng là

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng a2 ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ bằng

Cho hình trụ có chiều cao bằng 33. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng α đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc 30o. Hỏi α cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho khối trụ (T) có bán kính đáy R=1, thể tích $V = 5 π$ . Diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng là

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\frac{a}{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ bằng

Cho hình trụ có chiều cao bằng $3 \sqrt{3}$ . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc 30^o. Hỏi $(α)$ cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?