Câu hỏi:

07/02/2023 284

Cho hàm số $f (x) = {(\sin x - m)}^{2} + {(\cos x - n)}^{2} (m, n$ là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ (m,n) sao cho $\min_{x \in ℝ} f (x) + \max_{x \in ℝ} f (x) = 52 ?$

A. 4

B. 0

C. 8

D. 12

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Khai triển hằng đẳng thức.

- Sử dụng: $- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a \sin x + b \cos x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}},$ từ đó tìm $\min_{x \in ℝ} f (x), \max_{x \in ℝ} f (x) .$

- Giải phương trình tìm nghiệm nguyên m,n

Cách giải:

Ta có:

$f (x) = {(\sin x - m)}^{2} + {(\cos x - n)}^{2}$

$f (x) = \sin^{2} x - 2 m \sin x + m^{2} + \cos^{2} x - 2 n \cos x + n^{2}$

$f (x) = 1 - 2 (m \sin x + n \cos x) + m^{2} + n^{2}$

Ta có: $- \sqrt{m^{2} + n^{2}} \leq m \sin x + n \cos x \leq \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} \geq - 2 (m \sin x + n \cos x) \geq - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} \geq 1 - 2 (m \sin x + n \cos x) \geq 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} \geq f (x) \geq 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

$\Rightarrow \min_{x \in ℝ} f (x) = 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

$\max_{x \in ℝ} f (x) = 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

Theo bài ra ta có:

$\Leftrightarrow 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} + 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} = 52$

$\Leftrightarrow 2 + 2 m^{2} + 2 n^{2} = 52$

$\Leftrightarrow m^{2} + n^{2} = 25$

Vì $m, n \in ℤ \Rightarrow (m; n) \in \{\begin{array}{l} (0; 5); (0; - 5); (5; 0); (- 5; 0); \\ (3; 4); (3; - 4); (- 3; 4); (- 3; - 4) \\ (4; 3); (4; - 3); (- 4; 3); (- 4; - 3) \end{array}\}$ .

Vậy có 12 bộ số m,n thỏa mãn.

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 498

B. 462

C. 504

D. 426

Lời giải

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn (ảnh 2)

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn (ảnh 3)

Câu 2

Bất phương trình $\log_{2} (x^{2} - x - 2) \geq \log_{0, 5} (x - 1) + 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $[0; 2021] ?$

A. 2019

B. 2018

C. 2021

D. 2020

Lời giải

Phương pháp:

- Đưa về cùng cơ số.

- Sử dụng công thức $\log_{a} f (x) + \log_{a} g (x) = \log_{a} [f (x) g (x)] (0 < a \neq 1, f (x), g (x) > 0) .$

- Giải bất phương trình logarit: $\log_{a} f (x) \geq b \Leftrightarrow f (x) \geq a^{b} (a > 1) .$

Cách giải:

$\log_{2} (x^{2} - x - 2) \geq \log_{0, 5} (x - 1) + 1$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - x - 2) \geq - \log_{2} (x - 1) + 1$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - x - 2) + \log_{2} (x - 1) \geq + 1$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - x - 2) (x - 1) \geq 1$

$\Leftrightarrow (x^{2} - x - 2) (x - 1) \geq 2$

$\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - 2 x - x^{2} + x + 2 \geq 2$

$\Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} - x \geq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 - \sqrt{2} \leq x \leq 0 \\ x \geq 1 + \sqrt{2} \end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài $x \in [0; 2021], x \in ℤ \Rightarrow x \in \{0; 3; 4; 5; ...; 2021\}$

Vậy bất phương trình đã cho có 2020 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 3

Cho hàm số bậc ba $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{(2 m - 1) x - m}{x + m} (m \neq 0)$ có đồ thị $(C_{m})$ . Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng (d) có phương trình $y = a x + b$ sao cho $(C_{m})$ luôn tiếp xúc với (d). Giá trị của a+ b là

- 3

B. 1

- 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại $A, B A C = 120^{0}$ và các cạnh bên hợp với đáy một góc bằng

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). Tính thể tích của khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(A C C' A')$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{7} .$

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một lớp học có 20 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ?

A. 192375

B. 84075

C. 113750

D. 129254

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $n, k \in ℕ *$ và $n \geq k$ Tìm công thức đúng.

A. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! (k + 1)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

C. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

D. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số fx=sinx−m2+cosx−n2(m,n là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ (m,n) sao cho minx∈ℝfx+maxx∈ℝfx=52?

Bất phương trình log2x2−x−2≥log0,5x−1+1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc 0;2021?

Cho hàm số bậc ba fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d.

Cho hàm số y=2m−1x−mx+mm≠0 có đồ thị Cm. Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b sao cho Cm luôn tiếp xúc với (d). Giá trị của a+ b là

Một lớp học có 20 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ?

Cho n,k∈ℕ* và n≥k Tìm công thức đúng.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (x) = {(\sin x - m)}^{2} + {(\cos x - n)}^{2} (m, n$ là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ (m,n) sao cho $\min_{x \in ℝ} f (x) + \max_{x \in ℝ} f (x) = 52 ?$

Bất phương trình $\log_{2} (x^{2} - x - 2) \geq \log_{0, 5} (x - 1) + 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $[0; 2021] ?$

Cho hàm số bậc ba $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d.

Cho hàm số $y = \frac{(2 m - 1) x - m}{x + m} (m \neq 0)$ có đồ thị $(C_{m})$ . Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng (d) có phương trình $y = a x + b$ sao cho $(C_{m})$ luôn tiếp xúc với (d). Giá trị của a+ b là

Cho $n, k \in ℕ *$ và $n \geq k$ Tìm công thức đúng.