Cho hai đường thẳng $d_1:y=\left(m-2\right)x+m+4$  và $d_2:y=\left(n+1\right)x-3$ .

Tìm các giá trị của m và của n để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$  cùng đi qua điểm $A\left(1;0\right)$ .

Ta dễ dàng chứng minh được E, F là trung điểm của AB và AC (do $\Delta OAB$  và $\Delta OAC$  cân tại O)

Xét $\Delta ABC$  có hai đường trung tuyến BF và AO cắt nhau tại I (gt)

$\Rightarrow$ I là trọng tâm của $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow$ C, K, I, E thẳng hàng.

Ta có: OF là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow OF=\frac{1}{2}AB\Rightarrow OF=AE=BE$(1)

Mặt khác trong $\Delta CBE$  có:

O là trung điểm của BC

$OK//BE$ (do $OF//AB$ )

$\Rightarrow OK$ chính là đường trung bình của $\Delta CBE$  (định lý đảo).

$\Rightarrow OK=\frac{1}{2}BE\Rightarrow OK=\frac{1}{2}OF$

$\Rightarrow$ K là trung điểm của OF. (đpcm).

Xét $\Delta OAB$  có: $OA=OB\left(=R\right);OE\perp AB=\left\{E\right\}$ .

$\Rightarrow OE$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\Delta OAB$  cân tại O.(tính chất).

$\Rightarrow \angle BOE=\angle AOE$ hay $\angle BOM=\angle AOM\left(doM\in OE\right)$ .

Xét $\Delta BOM$  và $\Delta AOM$  ta có:

 $OB=OA\left(=R\right)$

$\angle BOM=\angle AOM$(cmt)

OM chung.

$\Delta BOM=\Delta AOM$ (c.g.c)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \angle OBM=\angle OAM=90° \\ \Rightarrow OA\perp AM \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ MA là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)