Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. M,N lần lượt là trung điểm $AB,AC;P$ thuộc đoạn CC' sao cho $\frac{CP}{C{C}^{\text{'}}}=x.$ Tìm x để mặt phẳng $\left(MNP\right)$ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $\frac{1}{2}$.

Chọn C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}P\in \left(MNP\right)\cap \left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\\ MN//BC\\ MN\subset \left(MNP\right)\\ BC\subset \left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(MNP\right)\cap \left(BB\text{'}C\text{'}C\right)=PT//MN//BC\Rightarrow \frac{BT}{BB\text{'}}=x\in \left[0;1\right]$.

Thiết diện tạo bởi (MNP) với khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ là hình tứ giác MNPT.

Ta có $V_{TPMNCB}=V_{T.BCNM}+V_{N.TPC}\left(1\right)$. Mà:

$V_{T.BCNM}=\frac{1}{3}{S}_{BNCM}.d\left(T;\left(BCNM\right)\right)=\frac{1}{3}\left(S_{ABC}-S_{AMN}\right).d\left(T;\left(BCNM\right)\right)$

$=\frac{1}{3}.\left(1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\right)S_{ABC}.x.d\left(B\text{'};\left(ABC\right)\right)=\frac{x}{4}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$

$V_{N.TPC}=\frac{1}{3}{S}_{TPC}.d\left(N;\left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\right)=\frac{1}{3}\left(S_{BB\text{'}C\text{'}C}-S_{BTC}-S_{B\text{'}C\text{'}PT}\right).\frac{1}{2}d\left(A;\left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\right)$

$=\frac{1}{3}\left(1-\frac{x}{2}-\left(1-x\right)\right)S_{BB\text{'}C\text{'}C}.\frac{1}{2}d\left(A;\left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\right)=\frac{x}{4}{V}_{A.BCC\text{'}B\text{'}}=\frac{x}{4}.\frac{2}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{x}{6}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$.

Thay vào (1), ta được $V_{TPMNCB}=\left(\frac{x}{4}+\frac{x}{6}\right)V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{5x}{12}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$.

Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $\frac{1}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{l}{V}_{TPMNCB}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}\\ V_{TPMNCB}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\frac{5x}{12}=\frac{1}{3}\\ \frac{5x}{12}=\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}\left(Nhan\right)\\ x=\frac{8}{4}\left(Loai\right)\end{array}\right.$

Vậy $x=\frac{4}{5}$ thoả YCBT.