Cho hàm số y=mx+3 d1 và y=−xm+3 d2. Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

• Vì A là giao điểm của d1 và d2 nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên: mx+3=−xm+3⇔mx=−xm⇔mx+xm=0⇔xm+1m=0⇒x=0 Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3). • Vì B là giao điểm của d1 và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên: mx + 3 = 0⇔x=−3m Khi đó, tọa độ của điểm B là B−3m; 0 • Vì C là giao điểm của d2 và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên: −xm+3=0⇔x=3m Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0). Hệ số góc của d1 là m và hệ số góc của d2 là −1m có m.−1m=−1 nên hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau tại A. Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là 12AB.AC Ta có: AB=−3m2+−32=31m2+1=31+m2m2; AC=3m2+−32=3m2+1 ⇒12AB.AC=12⋅31+m2m2⋅3m2+1=9m2+12m=92m+1m Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương m và 1m ta có: 12AB.AC=92m+1m≥92⋅2m⋅1m=9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=1m ⇔m2=1⇔m=±1 Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Câu hỏi:

01/03/2023 620

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$m x + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow m x = - \frac{x}{m} \Leftrightarrow m x + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x (m + \frac{1}{m}) = 0 \Rightarrow x = 0$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 $\Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B (- \frac{3}{m}; 0)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$- \frac{x}{m} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $- \frac{1}{m}$ có $m . (- \frac{1}{m}) = - 1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2} A B . A C$

Ta có: $A B = \sqrt{{(- \frac{3}{m})}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + 1} = 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}};$

$A C = \sqrt{{(3 m)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}} \cdot 3 \sqrt{m^{2} + 1} = \frac{9 (m^{2} + 1)}{2 |m|} = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|})$

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương $|m|$ và $\frac{1}{|m|}$ ta có:

$\frac{1}{2} A B . A C = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|}) \geq \frac{9}{2} \cdot 2 \sqrt{|m| \cdot \frac{1}{|m|}} = 9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $|m| = \frac{1}{|m|}$

$\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Quảng cáo

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

Xem đáp án » 04/03/2023 11,909

Câu 2:

Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Xem đáp án » 04/03/2023 9,466

Câu 3:

Cho hai tập hợp E = (2;5] và F = [2m - 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.

Xem đáp án » 01/03/2023 6,255

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.

Xem đáp án » 04/03/2023 3,565

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, $\hat{C A B} = 30 °$ . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).

Xem đáp án » 04/03/2023 2,514

Câu 6:

Đọc tên góc, đỉnh, và các cạnh của góc trong các hình vẽ sau:

Xem đáp án » 04/03/2023 2,356

Câu 7:

Cho hai đường thẳng $(D_{1}) : y = \frac{1}{2} x + 2$ và $(D_{2}) : y = - x + 2$

Gọi A và B theo thứ tự giao điểm của (D₁) và (D₂) với các trục hoành, C là giao điểm của hai đường thẳng đó (đơn vị trên các trục tọa độ là centimet).

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Số đo góc ∆ABC là:

\hat{A} = 26 ° 33', \hat{B} = 45 °, \hat{C} = 108 ° 27'

B. Chu vi ∆ABC bằng 5,6 cm

C. Diện tích ∆ABC bằng 6 cm²

Xem đáp án » 01/03/2023 2,209

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nâng cấp VIP

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 66587 lượt thi Thi thử
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 48851 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 40182 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 30835 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 28718 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 24851 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 24094 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 22099 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 17835 lượt thi Thi thử
21 câu trắc nghiệm: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số có đáp án

2 đề 17087 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho hàm số y=mx+3 d1 và y=−xm+3 d2. Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh rằng: 1AH2=1AB2+1AC2

Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Cho hai tập hợp E = (2;5] và F = [2m - 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, CAB^=30°. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).

Đọc tên góc, đỉnh, và các cạnh của góc trong các hình vẽ sau:

Cho hai đường thẳng D1:y=12x+2 và D2:y=−x+2 Gọi A và B theo thứ tự giao điểm của (D1) và (D2) với các trục hoành, C là giao điểm của hai đường thẳng đó (đơn vị trên các trục tọa độ là centimet). Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, $\hat{C A B} = 30 °$ . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).