Cho hàm số y=mx+3 d1 và y=−xm+3 d2. Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

• Vì A là giao điểm của d1 và d2 nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên: mx+3=−xm+3⇔mx=−xm⇔mx+xm=0⇔xm+1m=0⇒x=0 Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3). • Vì B là giao điểm của d1 và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên: mx + 3 = 0⇔x=−3m Khi đó, tọa độ của điểm B là B−3m; 0 • Vì C là giao điểm của d2 và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên: −xm+3=0⇔x=3m Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0). Hệ số góc của d1 là m và hệ số góc của d2 là −1m có m.−1m=−1 nên hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau tại A. Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là 12AB.AC Ta có: AB=−3m2+−32=31m2+1=31+m2m2; AC=3m2+−32=3m2+1 ⇒12AB.AC=12⋅31+m2m2⋅3m2+1=9m2+12m=92m+1m Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương m và 1m ta có: 12AB.AC=92m+1m≥92⋅2m⋅1m=9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=1m ⇔m2=1⇔m=±1 Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Câu hỏi:

11/07/2024 1,385

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$m x + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow m x = - \frac{x}{m} \Leftrightarrow m x + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x (m + \frac{1}{m}) = 0 \Rightarrow x = 0$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 $\Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B (- \frac{3}{m}; 0)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$- \frac{x}{m} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $- \frac{1}{m}$ có $m . (- \frac{1}{m}) = - 1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2} A B . A C$

Ta có: $A B = \sqrt{{(- \frac{3}{m})}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + 1} = 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}};$

$A C = \sqrt{{(3 m)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}} \cdot 3 \sqrt{m^{2} + 1} = \frac{9 (m^{2} + 1)}{2 |m|} = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|})$

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương $|m|$ và $\frac{1}{|m|}$ ta có:

$\frac{1}{2} A B . A C = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|}) \geq \frac{9}{2} \cdot 2 \sqrt{|m| \cdot \frac{1}{|m|}} = 9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $|m| = \frac{1}{|m|}$

$\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

Xem đáp án » 12/07/2024 51,975

Câu 2:

Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Xem đáp án » 12/07/2024 24,143

Câu 3:

Cho hai tập hợp E = (2;5] và F = [2m - 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 17,496

Câu 4:

c) Đặt P = A.B. Tìm giá trị nguyên của x để P < 1

Xem đáp án » 12/07/2024 13,593

Câu 5:

c) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3

Xem đáp án » 12/07/2024 13,403

Câu 6:

Đọc tên góc, đỉnh, và các cạnh của góc trong các hình vẽ sau:

Xem đáp án » 12/07/2024 8,199

Câu 7:

Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,296

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hàm số y=mx+3 d1 và y=−xm+3 d2. Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Bình luận

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh rằng: 1AH2=1AB2+1AC2

Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Cho hai tập hợp E = (2;5] và F = [2m - 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.

c) Đặt P = A.B. Tìm giá trị nguyên của x để P < 1

c) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3

Đọc tên góc, đỉnh, và các cạnh của góc trong các hình vẽ sau:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$