Cho hàm số y=mx+3 d1 và y=−xm+3 d2. Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

• Vì A là giao điểm của d1 và d2 nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên: mx+3=−xm+3⇔mx=−xm⇔mx+xm=0⇔xm+1m=0⇒x=0 Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3). • Vì B là giao điểm của d1 và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên: mx + 3 = 0⇔x=−3m Khi đó, tọa độ của điểm B là B−3m; 0 • Vì C là giao điểm của d2 và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên: −xm+3=0⇔x=3m Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0). Hệ số góc của d1 là m và hệ số góc của d2 là −1m có m.−1m=−1 nên hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau tại A. Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là 12AB.AC Ta có: AB=−3m2+−32=31m2+1=31+m2m2; AC=3m2+−32=3m2+1 ⇒12AB.AC=12⋅31+m2m2⋅3m2+1=9m2+12m=92m+1m Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương m và 1m ta có: 12AB.AC=92m+1m≥92⋅2m⋅1m=9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=1m ⇔m2=1⇔m=±1 Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Câu hỏi:

11/07/2024 1,400

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$m x + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow m x = - \frac{x}{m} \Leftrightarrow m x + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x (m + \frac{1}{m}) = 0 \Rightarrow x = 0$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 $\Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B (- \frac{3}{m}; 0)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$- \frac{x}{m} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $- \frac{1}{m}$ có $m . (- \frac{1}{m}) = - 1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2} A B . A C$

Ta có: $A B = \sqrt{{(- \frac{3}{m})}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + 1} = 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}};$

$A C = \sqrt{{(3 m)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}} \cdot 3 \sqrt{m^{2} + 1} = \frac{9 (m^{2} + 1)}{2 |m|} = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|})$