Giải bải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình :

Tìmsố tự nhiên có hai chữ số của nó bằng 9nếu lấy số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2và còn dư 18?

1, Vì $\angle MDC+\angle MIC=90°+90°=180°\Rightarrow MDIC$là tứ giác nội tiếp

2)   MDCI  là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle MID=\angle MCD\left(1\right)$

$\Delta ABC$vuông cân  $\Rightarrow \angle ABD=45°\Rightarrow \Delta ABD$cũng vuông cân

$\Rightarrow \angle BAD=45°\Rightarrow \angle BAD=\angle DAC=45°\Rightarrow AD$ là phân giác $\angle BAC$

$\Rightarrow \Delta BAC$ cân tại A có AD phân giác nên cũng là đường trung trực $\Rightarrow MB=MC$

$\Rightarrow \angle MBD=\angle MCD\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\angle MID=\angle MBD=\angle MBC\left(dfcm\right)$

3)    Ta có : $HK\perp ID\Rightarrow \angle HAI+\angle IKH=180°\Rightarrow AHKI$là tứ giác nội tiếp

Mà AHMI cũng nội tiếp nên $A,H,K,M,I$thuộc một đường tròn

$\Rightarrow AMKI$là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AMK=90°-\angle HAM=45°$

Lại có : $\angle DIC=\angle DMC=\angle BMD$(MD là trung trực của $BC)$

$\Rightarrow \angle HMA+\angle HMB+\angle AMK=\angle AMB+\angle BMD+\angle HMA=\angle AMD=180°$

$\Rightarrow \angle BMK=180°\Rightarrow B,M,K$ thẳng hàng.

$1)2x^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{3}=0$

Phương trình có dạng $a-b+c=2-2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$nên có hai nghiệm $\left[\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

2) Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

$\frac{1}{2}{x}^2+mx-2=0\left(1\right)$, $\Delta =m^2+4>0\Rightarrow \left(d\right)$luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ta có $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ với $x_1,x_2$là nghiệm của (1), theo Vi – et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-4\end{array}\right.\Rightarrow A\left(x_1;\frac{1}{2}{x}_1^2\right),B\left(x_2;\frac{1}{2}{x}_2^2\right)$

$OA=\sqrt{x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4},OB=\sqrt{x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4}$

$\begin{array}{l}{S}_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\sqrt{\left(x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4\right)\left(x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4\right)}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+x_1^2.\frac{1}{4}{x}_2^4+\frac{1}{4}{x}_1^4{x}_2^2+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+\frac{1}{4}{x}_1^2{x}_2^2\left(x_1^2+x{}_2^2\right)+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-4\right)}^2+\frac{1}{4}.{\left(-4\right)}^2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]+\frac{1}{16}.{\left(-4\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{16+4\left[{\left(-2m\right)}^2-2.\left(-4\right)\right]+16}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{4\left(4m^2+8\right)+32}=\frac{1}{2}\sqrt{16m^2+64}\ge \frac{1}{2}.\sqrt{64}=4\iff m=0\end{array}$

Vậy $S_{OAB}=4\iff m=0$