Cho tam giácABC Vuông cân đỉnh A  .Đường tròn đường kính  AD cắt BC tại D(D khác B).Điểm M bất kì trên đoạn AD ,kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB  và $AC(H\in AB;I\in AC)$ .  

1) Chứng minh :Tứ giác $MDCI$ nội tiếp;

2) Chứng minh : $MID=MBC;$

3) Kẻ$HK\perp ID\left(K\in ID\right)$ Chứng minh: $K;M;B$ thẳng hàng;

4)  Khi M di động trên đoạn  AD chứng minh rằng đường thẳngHK   luôn đi qua một điểm có định

1, Vì $\angle MDC+\angle MIC=90°+90°=180°\Rightarrow MDIC$là tứ giác nội tiếp

2)   MDCI  là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle MID=\angle MCD\left(1\right)$

$\Delta ABC$vuông cân  $\Rightarrow \angle ABD=45°\Rightarrow \Delta ABD$cũng vuông cân

$\Rightarrow \angle BAD=45°\Rightarrow \angle BAD=\angle DAC=45°\Rightarrow AD$ là phân giác $\angle BAC$

$\Rightarrow \Delta BAC$ cân tại A có AD phân giác nên cũng là đường trung trực $\Rightarrow MB=MC$

$\Rightarrow \angle MBD=\angle MCD\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\angle MID=\angle MBD=\angle MBC\left(dfcm\right)$

3)    Ta có : $HK\perp ID\Rightarrow \angle HAI+\angle IKH=180°\Rightarrow AHKI$là tứ giác nội tiếp

Mà AHMI cũng nội tiếp nên $A,H,K,M,I$thuộc một đường tròn

$\Rightarrow AMKI$là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AMK=90°-\angle HAM=45°$

Lại có : $\angle DIC=\angle DMC=\angle BMD$(MD là trung trực của $BC)$

$\Rightarrow \angle HMA+\angle HMB+\angle AMK=\angle AMB+\angle BMD+\angle HMA=\angle AMD=180°$

$\Rightarrow \angle BMK=180°\Rightarrow B,M,K$ thẳng hàng.