Cho tam giácABC Vuông cân đỉnh A  .Đường tròn đường kính  AD cắt BC tại D(D khác B).Điểm M bất kì trên đoạn AD ,kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB  và $AC(H\in AB;I\in AC)$ .  

1) Chứng minh :Tứ giác $MDCI$ nội tiếp;

2) Chứng minh : $MID=MBC;$

3) Kẻ$HK\perp ID\left(K\in ID\right)$ Chứng minh: $K;M;B$ thẳng hàng;

4)  Khi M di động trên đoạn  AD chứng minh rằng đường thẳngHK   luôn đi qua một điểm có định

$1)2x^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{3}=0$

Phương trình có dạng $a-b+c=2-2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$nên có hai nghiệm $\left[\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

2) Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

$\frac{1}{2}{x}^2+mx-2=0\left(1\right)$, $\Delta =m^2+4>0\Rightarrow \left(d\right)$luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ta có $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ với $x_1,x_2$là nghiệm của (1), theo Vi – et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-4\end{array}\right.\Rightarrow A\left(x_1;\frac{1}{2}{x}_1^2\right),B\left(x_2;\frac{1}{2}{x}_2^2\right)$

$OA=\sqrt{x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4},OB=\sqrt{x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4}$

$\begin{array}{l}{S}_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\sqrt{\left(x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4\right)\left(x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4\right)}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+x_1^2.\frac{1}{4}{x}_2^4+\frac{1}{4}{x}_1^4{x}_2^2+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+\frac{1}{4}{x}_1^2{x}_2^2\left(x_1^2+x{}_2^2\right)+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-4\right)}^2+\frac{1}{4}.{\left(-4\right)}^2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]+\frac{1}{16}.{\left(-4\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{16+4\left[{\left(-2m\right)}^2-2.\left(-4\right)\right]+16}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{4\left(4m^2+8\right)+32}=\frac{1}{2}\sqrt{16m^2+64}\ge \frac{1}{2}.\sqrt{64}=4\iff m=0\end{array}$

Vậy $S_{OAB}=4\iff m=0$

Gọi $\overline{ab}$là số cần tìm $\left(0<a,b<10,a,b\in \mathbb{N}*\right)$

Theo bài ta có hệ :
$\left\{\begin{array}{l}a+b=9\\ \overline{ab}=2\overline{ba}+18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=9\\ 8a-19b=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=7\\ b=2\end{array}\right.\left(tm\right)$

Vậy số cần tìm là 72