Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án (Đề 13)

$\begin{array}{l} 1) x = 7 + 4 \sqrt{3} = {(2 + \sqrt{3})}^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = 2 + \sqrt{3} \\ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2 + \sqrt{3} + 1}{2 + \sqrt{3} - 2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1 \\ 2) B = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (1 - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + 1) - \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} \\ = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1 - x - \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{- 3 \sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{3}{2 - \sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) \frac{B}{A} < - 1 \Rightarrow \frac{3}{2 - \sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{- 3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} < 0 \\ \Leftrightarrow - 2 + \sqrt{x} < 0 \Rightarrow x < 4 \end{array}$

Câu 2/5

Giải bải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình :

Tìmsố tự nhiên có hai chữ số của nó bằng 9nếu lấy số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2và còn dư 18?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $\bar{a b}$ là số cần tìm $(0 < a, b < 10, a, b \in ℕ *)$

Theo bài ta có hệ :
$\{\begin{cases} a + b = 9 \\ \bar{a b} = 2 \bar{b a} + 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b = 9 \\ 8 a - 19 b = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 7 \\ b = 2 \end{cases} (t m)$

Vậy số cần tìm là 72

Câu 3/5

1. Giải phương trình sau : $2 x^{2} (2 - \sqrt{3}) x - \sqrt{3 = 0}$

2. Cho $p a r a b o l (P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình: $y = - m x + 2$ .

Chứng minh rằng :Với $m (d)$ mọiluôn $(p)$ cắttại hai điểm phân biệt $A, B$ và $S_{O A B} \geq 4$

Xem đáp án

Lời giải

$1) 2 x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x - \sqrt{3} = 0$

Phương trình có dạng $a - b + c = 2 - 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

2) Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

$\frac{1}{2} x^{2} + m x - 2 = 0 (1)$ , $Δ = m^{2} + 4 > 0 \Rightarrow (d)$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ta có $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ với $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của (1), theo Vi – et ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 m \\ x_{1} x_{2} = - 4 \end{cases} \Rightarrow A (x_{1}; \frac{1}{2} x_{1}^{2}), B (x_{2}; \frac{1}{2} x_{2}^{2})$

$O A = \sqrt{x_{1}^{2} + \frac{1}{4} x_{1}^{4}}, O B = \sqrt{x_{2}^{2} + \frac{1}{4} x_{2}^{4}}$

$\begin{array}{l} S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} \sqrt{(x_{1}^{2} + \frac{1}{4} x_{1}^{4}) (x_{2}^{2} + \frac{1}{4} x_{2}^{4})} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{1} x_{2})}^{2} + x_{1}^{2} . \frac{1}{4} x_{2}^{4} + \frac{1}{4} x_{1}^{4} x_{2}^{2} + \frac{1}{16} {(x_{1} x_{2})}^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{1} x_{2})}^{2} + \frac{1}{4} x_{1}^{2} x_{2}^{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + \frac{1}{16} {(x_{1} x_{2})}^{4}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 4)}^{2} + \frac{1}{4} . {(- 4)}^{2} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}] + \frac{1}{16} . {(- 4)}^{4}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 4 [{(- 2 m)}^{2} - 2. (- 4)] + 16} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{4 (4 m^{2} + 8) + 32} = \frac{1}{2} \sqrt{16 m^{2} + 64} \geq \frac{1}{2} . \sqrt{64} = 4 \Leftrightarrow m = 0 \end{array}$

Vậy $S_{O A B} = 4 \Leftrightarrow m = 0$

Câu 4/5

Cho tam giácABC Vuông cân đỉnh A .Đường tròn đường kính AD cắt BC tại D(D khác B).Điểm M bất kì trên đoạn AD ,kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB và $A C (H \in A B; I \in A C)$ .

1) Chứng minh :Tứ giác $M D C I$ nội tiếp;

2) Chứng minh : $M I D = M B C;$

3) Kẻ $H K ⊥ I D (K \in I D)$ Chứng minh: $K; M; B$ thẳng hàng;

4) Khi M di động trên đoạn AD chứng minh rằng đường thẳngHK luôn đi qua một điểm có định

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giácABC Vuông cân đỉnh A .Đường tròn đường kính AD cắt BC tại D(D khác B).Điểm M bất kì trên đoạn AD ,kẻ MH, MI lần (ảnh 1)

1, Vì $∠ M D C + ∠ M I C = 90 ° + 90 ° = 180 ° \Rightarrow M D I C$ là tứ giác nội tiếp

2) MDCI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow ∠ M I D = ∠ M C D (1)$

$Δ A B C$ vuông cân $\Rightarrow ∠ A B D = 45 ° \Rightarrow Δ A B D$ cũng vuông cân

$\Rightarrow ∠ B A D = 45 ° \Rightarrow ∠ B A D = ∠ D A C = 45 ° \Rightarrow A D$ là phân giác $∠ B A C$

$\Rightarrow Δ B A C$ cân tại A có AD phân giác nên cũng là đường trung trực $\Rightarrow M B = M C$

$\Rightarrow ∠ M B D = ∠ M C D (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $∠ M I D = ∠ M B D = ∠ M B C (d f c m)$

3) Ta có : $H K ⊥ I D \Rightarrow ∠ H A I + ∠ I K H = 180 ° \Rightarrow A H K I$ là tứ giác nội tiếp

Mà AHMI cũng nội tiếp nên $A, H, K, M, I$ thuộc một đường tròn

$\Rightarrow A M K I$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow ∠ A M K = 90 ° - ∠ H A M = 45 °$

Lại có : $∠ D I C = ∠ D M C = ∠ B M D$ (MD là trung trực của $B C)$

$\Rightarrow ∠ H M A + ∠ H M B + ∠ A M K = ∠ A M B + ∠ B M D + ∠ H M A = ∠ A M D = 180 °$

$\Rightarrow ∠ B M K = 180 ° \Rightarrow B, M, K$ thẳng hàng.

Câu 5/5

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq a b + b c + c a;$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} = \frac{a^{4}}{a b} + \frac{b^{4}}{b c} + \frac{c^{4}}{a c} \\ \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{a b + b c + c a} \geq \frac{{(a b + b c + c a)}^{2}}{a b + b c + a c} = a b + b c + c a \end{array}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Giải bải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình :

Tìmsố tự nhiên có hai chữ số của nó bằng 9nếu lấy số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2và còn dư 18?

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq a b + b c + c a;$