Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án (Đề 10)

$\begin{array}{l} a) A = (\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x} + 1} + 1) (\frac{\sqrt{x} - x}{\sqrt{x} - 1} + 1) (\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{array}) \\ = [\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} + 1] [\frac{- \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} + 1] = (1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x}) = 1 - x \\ b) x = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} = \sqrt{3} - 1 \Rightarrow A = 1 - \sqrt{3} + 1 = 2 - \sqrt{3} \end{array}$

Câu 2/5

a, Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2} (P)$

b, Tìm giá trị của m sao cho điểm $C (- 2; m) \in (p)$

Xem đáp án

Lời giải

Học sinh tự vẽ (P)

$C (- 2; m) \in (P) \Rightarrow {(- 2)}^{2} . \frac{1}{2} = m \Leftrightarrow m = 2$

Câu 3/5

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình :

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo . Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày , tổ thứ hai may trong 3 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo . Biết rằng trong một ngày ,tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo . Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số áo tổ 1, tổ 2 may được $(x, y \in ℕ *, x > 10)$

Theo bài ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 1310 \\ x - y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 170 \\ y = 160 \end{cases} (t m)$

Vậy tổ 1: 170 chiếc áo, tổ 2: 160 chiếc áo

Câu 4/5

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC( B,C là các tiếp điểm ). M là điểm bất kì trên cung nhỏ .Kẻ $M I ⊥ A B, M H ⊥ B C, M K ⊥ A C (I, H, K$ là chân các đường vuông góc)

a)    Chứng minh tứ giác $B I M H$ nội tiếp.

b)    Chứng minh $M H^{2} = M I . M K$

c)    Gọi là giao điểm của IH   và $M B . Q$ là giao điểm của KH và MC .

Chứng minh tứ giác $M P H Q$ nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC( B,C là các tiếp điểm ). M là điểm bất kì trên cung nhỏ . (ảnh 1)

a)Vì $M I ⊥ A B (g t) \Rightarrow ∠ B I M = 90 °$

VÌ $M H ⊥ B C (g t) \Rightarrow ∠ B H M = 90 °$

Ta có $∠ B I M + ∠ B H M = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Suy ra tứ giác nội tiếp(tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180 °)$

b) Vì tứ giác $B I M H$ Nội tiếp(c mt).suy ra $∠ M I H = ∠ M B H (1)$

Trong đường tròn(O) có $∠ M B H = ∠ M C K ($ Góc tạo bởi tía tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung)(2).

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác $C K M H$ nội tiếp. $\Rightarrow ∠ M C K = ∠ M H K (3)$

Từ $(1), (2)$ và $(3) \Rightarrow ∠ M I H = ∠ M H K (4)$

Chứng minh tương tự ta có : $∠ M K H = ∠ M H I (5)$

Từ (4) và $(5) \Rightarrow Δ M I H ∽ Δ M H K (g . g)$

$\Rightarrow \frac{M H}{M K} = \frac{M I}{M H}$ hay $M H^{2} = M I . M K$ (đpcm)

c) Chứng minh: $∠ M H K = ∠ M C K = ∠ M B C$

Chứng minh: $∠ I H M = ∠ I B M = ∠ M C B$

Suy ra $∠ M H K + ∠ I H M = ∠ M B C + ∠ M C B$

Suy ra : $∠ B M C + ∠ M H K + ∠ I H M = ∠ B M C + ∠ M B C + ∠ M C B = 180 °$ (Tổng 3Goc trong tam giác MBC Hay $∠ P M Q + ∠ P H Q = 180 °$

Suy ra tứ giác MPHD nội tiếp(tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180 °)$

Câu 5/5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = (\sqrt{x} + \frac{a}{\sqrt{x}}) (\sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{x}});$

với $x > 0, a$ và b là các hằng số dương cho trước .

Xem đáp án

Lời giải

$P = (x + \frac{a b}{x}) + a + b$

Chứng minh: $x + \frac{a b}{x} \geq 2 \sqrt{a b}$

Suy ra $P \geq 2 \sqrt{a b} + a + b = {(\sqrt{a + \sqrt{b}})}^{2}$

Dấu : “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} x = \frac{a b}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{a b} \\ x > 0 \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Là: ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{a b}$

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Cho biểu thức $A = (\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x} + 1} + 1) (\frac{\sqrt{x} - x}{\sqrt{x} - 1} + 1);$ với $x \geq 0 x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tìm giá trị của biểu thức A biết $X = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$

a, Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2} (P)$

b, Tìm giá trị của m sao cho điểm $C (- 2; m) \in (p)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = (\sqrt{x} + \frac{a}{\sqrt{x}}) (\sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{x}});$

với $x > 0, a$ và b là các hằng số dương cho trước .