Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O)   kẻ hai tiếp tuyến  AB và AC( B,C là các tiếp điểm ). M là điểm bất kì trên cung nhỏ .Kẻ  $MI\perp AB,MH\perp BC,MK\perp AC(I,H,K$  là chân các đường vuông góc)

a)     Chứng minh tứ giác  $BIMH$  nội tiếp.

b)    Chứng minh  $$$M{H}^2=MI.MK$

c)     Gọi là giao điểm của IH   và $MB.Q$  là giao điểm của KH và MC  .

Chứng minh tứ giác  $MPHQ$  nội tiếp.

a)Vì $MI\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow \angle BIM=90°$

                  VÌ $MH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow \angle BHM=90°$

              Ta có $\angle BIM+\angle BHM=90°+90°=180°$

              Suy ra tứ giác nội tiếp(tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180°)$

b) Vì tứ giác $BIMH$ Nội tiếp(c mt).suy ra $\angle MIH=\angle MBH\left(1\right)$

Trong đường tròn(O) có$\angle MBH=\angle MCK($Góc tạo bởi tía tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung)(2).

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác $CKMH$ nội tiếp. $\Rightarrow \angle MCK=\angle MHK\left(3\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ và  $\left(3\right)\Rightarrow \angle MIH=\angle MHK\left(4\right)$

Chứng minh tương tự ta có :$\angle MKH=\angle MHI\left(5\right)$

Từ (4) và$\left(5\right)\Rightarrow \Delta MIH\backsim \Delta MHK\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{MH}{MK}=\frac{MI}{MH}$  hay $M{H}^2=MI.MK$(đpcm)

c) Chứng minh:  $\angle MHK=\angle MCK=\angle MBC$

Chứng minh:  $\angle IHM=\angle IBM=\angle MCB$

Suy ra $\angle MHK+\angle IHM=\angle MBC+\angle MCB$

Suy ra :$\angle BMC+\angle MHK+\angle IHM=\angle BMC+\angle MBC+\angle MCB=180°$(Tổng 3Goc trong tam giác MBC Hay $\angle PMQ+\angle PHQ=180°$

Suy ra tứ giác MPHD nội tiếp(tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180°)$