Cho  $a,b,c>0$ Chứng minh : $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca;$   

1, Vì $\angle MDC+\angle MIC=90°+90°=180°\Rightarrow MDIC$là tứ giác nội tiếp

2)   MDCI  là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle MID=\angle MCD\left(1\right)$

$\Delta ABC$vuông cân  $\Rightarrow \angle ABD=45°\Rightarrow \Delta ABD$cũng vuông cân

$\Rightarrow \angle BAD=45°\Rightarrow \angle BAD=\angle DAC=45°\Rightarrow AD$ là phân giác $\angle BAC$

$\Rightarrow \Delta BAC$ cân tại A có AD phân giác nên cũng là đường trung trực $\Rightarrow MB=MC$

$\Rightarrow \angle MBD=\angle MCD\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\angle MID=\angle MBD=\angle MBC\left(dfcm\right)$

3)    Ta có : $HK\perp ID\Rightarrow \angle HAI+\angle IKH=180°\Rightarrow AHKI$là tứ giác nội tiếp

Mà AHMI cũng nội tiếp nên $A,H,K,M,I$thuộc một đường tròn

$\Rightarrow AMKI$là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AMK=90°-\angle HAM=45°$

Lại có : $\angle DIC=\angle DMC=\angle BMD$(MD là trung trực của $BC)$

$\Rightarrow \angle HMA+\angle HMB+\angle AMK=\angle AMB+\angle BMD+\angle HMA=\angle AMD=180°$

$\Rightarrow \angle BMK=180°\Rightarrow B,M,K$ thẳng hàng.

$1)2x^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{3}=0$

Phương trình có dạng $a-b+c=2-2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$nên có hai nghiệm $\left[\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

2) Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

$\frac{1}{2}{x}^2+mx-2=0\left(1\right)$, $\Delta =m^2+4>0\Rightarrow \left(d\right)$luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ta có $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ với $x_1,x_2$là nghiệm của (1), theo Vi – et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-4\end{array}\right.\Rightarrow A\left(x_1;\frac{1}{2}{x}_1^2\right),B\left(x_2;\frac{1}{2}{x}_2^2\right)$

$OA=\sqrt{x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4},OB=\sqrt{x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4}$

$\begin{array}{l}{S}_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\sqrt{\left(x_1^2+\frac{1}{4}{x}_1^4\right)\left(x_2^2+\frac{1}{4}{x}_2^4\right)}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+x_1^2.\frac{1}{4}{x}_2^4+\frac{1}{4}{x}_1^4{x}_2^2+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(x_1{x}_2\right)}^2+\frac{1}{4}{x}_1^2{x}_2^2\left(x_1^2+x{}_2^2\right)+\frac{1}{16}{\left(x_1{x}_2\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-4\right)}^2+\frac{1}{4}.{\left(-4\right)}^2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]+\frac{1}{16}.{\left(-4\right)}^4}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{16+4\left[{\left(-2m\right)}^2-2.\left(-4\right)\right]+16}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{4\left(4m^2+8\right)+32}=\frac{1}{2}\sqrt{16m^2+64}\ge \frac{1}{2}.\sqrt{64}=4\iff m=0\end{array}$

Vậy $S_{OAB}=4\iff m=0$