Giải phương trình nghiệm nguyên 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

<=> 3y² + 2y(3x − 14) + 12x² − 28x = 0 (1)

Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi ∆' là số chính phương

Ta có: ∆' = (3x − 14)² − 3(12x² − 28x) = −27x² + 196 (2)

=> −27x² + 196 = k² ≥ 0 => 27x² $\le$ 196

<=> x² $\le$ 7

Mà x $\in$ ℤ nên x $\in$ {0; ±1; ±2}.

Lần lượt thử các giá trị của x vào (2) ta có:

+) Với x = 0 => ∆' = 196 = 14² (thỏa mãn) nên khi đó phương trình (1) trở thành

(1) <=> 3y² − 28y = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}y=0\left(TM\right)\\ y=\frac{28}{3}\left(KTM\right)\end{array}\right.$

+) Với x = ±1 => ∆' = 169 = 13² (thỏa mãn) nên khi đó

x = 1, phương trình (1) trở thành

(1) <=> 3y² − 22y − 16 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}y=8\left(TM\right)\\ y=\frac{-2}{3}\left(KTM\right)\end{array}\right.$

• Với x = −1, phương trình (1) trở thành

(1) <=> 3y² − 34y + 40 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}y=10\left(TM\right)\\ y=\frac{4}{3}\left(KTM\right)\end{array}\right.$

•Với x = ±2 => ∆' = 88 (không thỏa mãn) nên khi đó không cho y là số nguyên.

Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) thỏa mãn là {(0; 0), (1; 8), (−1; 10)}.