Chứng minh a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

• Xét phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1)

Ta có: ∆ = m² − 4(m − 1) = m² − 4m + 4 = (m − 2)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Hay (m − 2)² > 0 <=> m ≠ 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-x_2\\ \left(m-x_2\right)x_2=m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-x_2\\ {x_2}^2-m{x}_2+m-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-x_2\\ \left(x_2-1\right)\left(x_2+1\right)-m\left(x_2-1\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-x_2\\ \left(x_2-1\right)\left(x_2+1-m\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-x_2\\ \left[\begin{array}{l}{x}_2=1\\ x_2=m-1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-1\\ x_2=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=m-1\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

• Xét phương trình: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16 (2)

+) TH1: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-1\\ x_2=1\end{array}\right.$

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> (m − 1)² + 3(m − 1) = 3 + 3m + 16

<=> m² − 2m − 21 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1+\sqrt{22}\\ m=1-\sqrt{22}\end{array}\right.$

+) TH2: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=m-1\end{array}\right.$

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> 1² + 3(m − 1) = 3(m − 1) + 3m + 16

<=> 3m + 15 = 0

<=> m = −5.

Vậy $m=1\pm \sqrt{22}$ và m = −5 là các giá trị của m thỏa mãn.