Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a3b3c+b3c3a+a3c3b≥3abc

Câu hỏi:

12/07/2024 1,819

Cho a, b, c > 0 thỏa a² + b² + c² = 3. CMR: $\frac{a^{3} b^{3}}{c} + \frac{b^{3} c^{3}}{a} + \frac{a^{3} c^{3}}{b} \geq 3 a b c$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

BĐT trên tương đương với việc chứng minh $a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} \geq 2 \sqrt{a^{4} b^{4} . b^{4} c^{4}} = 2 a^{2} b^{4} c^{2}$ (1)

$b^{4} c^{4} + c^{4} a^{4} \geq 2 \sqrt{b^{4} c^{4} . c^{4} a^{4}} = 2 b^{2} c^{4} a^{2}$ (2)

$c^{4} a^{4} + a^{4} b^{4} \geq 2 \sqrt{c^{4} a^{4} . a^{4} b^{4}} = 2 c^{2} a^{4} b^{2}$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$2 (a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4}) \geq 2 (a^{2} b^{4} c^{2} + b^{2} c^{4} a^{2} + c^{2} a^{4} b^{2}) \Leftrightarrow a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq a^{2} b^{4} c^{2} + b^{2} c^{4} a^{2} + c^{2} a^{4} b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq a^{2} b^{2} c^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$ (*)

Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:

$\frac{a^{3} b^{3}}{c} + \frac{b^{3} c^{3}}{a} + \frac{a^{3} c^{3}}{b} \geq 3 a b c$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Đã bán 1,3k

₫ 36.000 ₫ 18.000

Hà Nội

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

Đã bán 189

₫ 135.000 ₫ 38.500

Hà Nội

Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)

Đã bán 1,5k

₫ 70.000 ₫ 36.000

Hà Nội

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Đã bán 986

₫ 70.000 ₫ 36.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .

Xem đáp án » 12/07/2024 64,141

Câu 2:

Cho phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thoả mãn: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16.

Xem đáp án » 12/07/2024 27,640

Câu 3:

Chứng minh a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xem đáp án » 12/07/2024 18,023

Câu 4:

c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 14,340

Câu 5:

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Xem đáp án » 12/07/2024 13,497

Câu 6:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng: OA $⊥$ BC và OA // BD.

Xem đáp án » 12/07/2024 13,427

Câu 7:

c) Chứng minh AH² = HB . HC.

Xem đáp án » 12/07/2024 13,196

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a3b3c+b3c3a+a3c3b≥3abc

Bình luận

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.a) Tính BC, BH, HC, AH .

Cho phương trình: x2 − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn: x12 + 3x1x2 = 3x2 + 3m + 16.

Chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.

Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). a) Chứng minh rằng: OA ⊥ BC và OA // BD.

c) Chứng minh AH2 = HB . HC.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0 thỏa a² + b² + c² = 3. CMR: $\frac{a^{3} b^{3}}{c} + \frac{b^{3} c^{3}}{a} + \frac{a^{3} c^{3}}{b} \geq 3 a b c$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .

Cho phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thoả mãn: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16.

Chứng minh a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng: OA $⊥$ BC và OA // BD.

c) Chứng minh AH² = HB . HC.