Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng: OA ⊥ BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của ∆ ABC; Biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.

Lời giải      

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên AB = AC nên ΔABC cân tại A.

Ta có AO là đường phân giác của góc \[\widehat {BAC}\] của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao.

Suy ra OA ⊥ BC (tính chất của tam giác cân).

b) Gọi I là giao điểm của AO với BC.

Ta có ΔIBA = ΔICA (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra IB = IC (hai cạnh tương ứng).

Trong ΔBCD có: IB = ID; OC = OD.

 Suy ra OI là đường trung bình của ΔBCD.

Nên OI // BD hay AO// BD.

Vậy AO // BD (đpcm).

c) Vì AB là tiếp tuyến của (O) với B là tiếp điểm nên AB ⊥ OB và AB = AC.

Do đó ΔOAB vuông tại B.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OAB, ta có:

AO² = AB² + BO²

⇒ AB² = AO² – BO² = 4² – 2² = 12

⇒ AB = \[\sqrt {12} \] = \[2\sqrt 3 \] (cm)

Trong tam giác vuông OAB ta có

sin\[\widehat {OAB}\] = \[\frac{{OA}}{{OB}}\] = \[\frac{2}{4}\] = \[\frac{1}{2}\]

⇒ \[\widehat {OAB}\] = 30° ⇒ \[\widehat {BAC}\] = 2\[\widehat {OAB}\] = 2 . 30° = 60°

Xét ∆ABC cân tại A có \[\widehat A = 60^\circ \] nên ΔABC là tam giác đều.

Do đó AB = BC = CA = \[2\sqrt 3 \] (cm).