Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).

Suy ra tam giác ABD đều.

Lại có SA = SB = SD = a.

Suy ra hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Suy ra SH ⊥ (ABD).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó \(AO = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác SHA vuông tại H, có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

Do đó d(S, (ABCD)) = SH = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

Ta có \(CH = CO + OH = AO + \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}AO = \frac{4}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác SHC vuông tại H, có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Vậy d(S, (ABCD)) = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(SC = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

c) Ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Suy ra BH ⊥ AD.

Lại có SH ⊥ AD (vì SH ⊥ (ABD)).

Suy ra AD ⊥ (SBH).

Mà BC // AD (do ABCD là hình thoi).

Nên BC ⊥ (SBH).

Vậy BC ⊥ SB.

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\Trong\,\,\left( {SBD} \right):\,\,SO \bot BD\\Trong\,\,\left( {ABCD} \right):\,\,AO \bot BD\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là \(\widehat {SOA} = \varphi \).

Tam giác SHO vuông tại H: \(\tan \varphi = \frac{{SH}}{{OH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\frac{1}{3}.AO}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 5 \).

Vậy \(\tan \varphi = \sqrt 5 \).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »