Câu hỏi:
22/03/2023 5,131Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh SB vuông góc với BC.
d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).
Suy ra tam giác ABD đều.
Lại có SA = SB = SD = a.
Suy ra hình chóp S.ABD là hình chóp đều.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Suy ra SH ⊥ (ABD).
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Khi đó \(AO = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác SHA vuông tại H, có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
Do đó d(S, (ABCD)) = SH = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
Ta có \(CH = CO + OH = AO + \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}AO = \frac{4}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác SHC vuông tại H, có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Vậy d(S, (ABCD)) = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(SC = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) Ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Suy ra BH ⊥ AD.
Lại có SH ⊥ AD (vì SH ⊥ (ABD)).
Suy ra AD ⊥ (SBH).
Mà BC // AD (do ABCD là hình thoi).
Nên BC ⊥ (SBH).
Vậy BC ⊥ SB.
d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\Trong\,\,\left( {SBD} \right):\,\,SO \bot BD\\Trong\,\,\left( {ABCD} \right):\,\,AO \bot BD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là \(\widehat {SOA} = \varphi \).
Tam giác SHO vuông tại H: \(\tan \varphi = \frac{{SH}}{{OH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\frac{1}{3}.AO}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 5 \).
Vậy \(\tan \varphi = \sqrt 5 \).
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).
a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Câu 3:
Câu 4:
Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).
a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Câu 5:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.
a) Chứng minh: CO ⊥ AD.
b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.
c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.
Câu 6:
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OM // BC.
c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
về câu hỏi!