Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10.

Lời giải

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 2z} \right)^2} = 0\\{\left( {2y + z} \right)^2} = 1\\{z^2} = 9\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 2z} \right)^2} = 0\\{\left( {2y + z} \right)^2} = 9\\{z^2} = 1\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2z = 0\\2y + z = 1\\z = \pm 3\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2z = 0\\2y + z = 9\\z = \pm 1\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 1\\z = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 8\\y = 2\\z = - 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\\z = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 5\\z = - 1\end{array} \right.\)

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3), (–8; 2; –3), (–2; 4; 1), (–7; 5; –1)}.