Câu hỏi:
22/03/2023 1,875Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1) Chứng minh rằng A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh BM song song với OP.
3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
1) Ta có: AP, MP là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
Suy ra \(\widehat {PAO} = 90^\circ \) và \(\widehat {PMO} = 90^\circ \).
Khi đó \(\widehat {PAO} + \widehat {PMO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Vậy bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính PO.
2) Ta có \(\widehat {ABM} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm).
Mà \(\widehat {AOP} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Vậy BM // OP.
3) Xét ∆AOP và ∆OBN, có:
\(\widehat {PAO} = \widehat {NOB} = 90^\circ \);
AO = OB (= R);
\(\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆AOP = ∆OBN (g.c.g).
Suy ra OP = BN (cặp cạnh tương ứng).
Mà BN // OP (chứng minh trên).
Vậy tứ giác OBNP là hình bình hành.
4) Ta có PN // OB (OBNP là hình bình hành).
Suy ra \(\widehat {PNO} = \widehat {NOB} = 90^\circ \) (cặp góc so le trong).
Lại có \(\widehat {PAO} = \widehat {NOA} = 90^\circ \).
Do đó tứ giác AONP là hình chữ nhật.
Suy ra AP // ON.
Khi đó \(\widehat {APO} = \widehat {PON}\) (cặp góc so le trong).
Mà \(\widehat {APO} = \widehat {MPO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(\widehat {PON} = \widehat {MPO}\).
Do đó tam giác IPO cân tại I.
Mà K là trung điểm PO (AONP là hình chữ nhật).
Nên IK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác IPO.
Suy ra IK ⊥ PO (1)
Tam giác POJ có các đường cao PM, ON cắt nhau tại I.
Suy ra I là trực tâm của tam giác POJ.
Do đó IJ ⊥ PO (2)
Từ (1), (2), suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
Câu 2:
Qua điểm M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (tia MO nằm giữa hai tia MA và MB).
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Kẻ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh MH.MO = MB.MC và tứ giác OHBC nội tiếp.
c) Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Câu 4:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Vẽ đường cao BD của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và song song với MA cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp.
c) Tia OO’ cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc BAC.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Tìm điều kiện của tam giác ABC để có \[\frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{KC}}{{KE}} = \frac{{IB}}{{ID}} + \frac{{KC}}{{KE}}\].
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Câu 6:
Câu 7:
về câu hỏi!